前面部分還是不用看了，基本勾股數的構造可以直接跳到UPD部分
有可能是初中寫的最后一篇了，中考啊~~
以前跟一些人提到過，互質的勾股數a,b,c(即a²+b²=c²)都滿足一個規律(其實互質滿足了，那么不互質也一定滿足)：
當a為奇數時：b=(a²-1)/2，c=(a²+1)/2
當a為偶數時：b=a²/4-1，c=a²/4+1
那么，這個條件是否充分呢(就是說當a,b,c滿足以上規律時，這三個數是否為互質的勾股數)？
顯而易見，如果不要求互質的話，這是絕對滿足的，證明如下：
當a為奇數時：
a²+b²=a²+[(a²-1)/2]²=a²+(a²-1)²/4=a²+(a^4-2a²+1)/4=a²+(a^4)/4-a/2+1/4=(a^4)/4+a/2+1/4=(a²+1)²/4=[(a²+1)/2]²=c²
當a為偶數時：
a²+b²=a²+(a²/4+1)²=a²+(a^4)/16-a²/2+1=(a^4)/16+a²/2+1=[a²/4+1]²=c²
接下來討論一下互質的問題：
當a為奇數時：
∵a²=0(mod a)
∴a²+1=1(mod a)
即(a²+1)與a互質
又因為：a為奇數，即a=1(mod 2)
∴(a²+1)/2也與a互質，即b與a互質
同理可證c與a互質
當a為偶數時：設a=2k，則：
a²/4-1=(2k)²/4-1=4k²/4-1=k²-1
∴k²與b互質，即只當b為偶數(k為奇數)時，a,b最大公因數可以為2
同理可證a,c也有相同性質,即要么a,b,c互質,要么a,b,c同除二后互質(不過在處理時，很多時候可以把后者轉為前者)
然后再證一下這個公式的必要性(有瑕疵)：
當a為奇數時：
對於b,c不滿足以上公式者，即b≠(a²-1)/2，c≠(a²+1)/2時：
b≠(a²-1)/2(mod a)， c≠(a²+1)/2(mod a)
又因為：a為奇數，即a=1(mod 2)
∴b≠a²-1(mod a)， c≠a²+1(mod a)
∴b≠-1(mod a)，c≠1(mod a)
∴b²≠1(mod a)，c²≠1(mod a)
∴c²-b²≠0(mod a)
又因為：如果a,b,c滿足a²+b²=c²，則c²-b²=a²，那么c²-b²=0(mod a)，矛盾，舍去
當a為偶數時：對於b,c不滿足以上公式者，即b≠a²/4-1，c≠a²/4+1時：
因為a為偶數，所以設a=2k，則：
b≠(2k)²/4-1，c≠(2k)²/4+1
∴b≠k²-1，c≠k²+1
∴b≠-1(mod k)，c≠1(mod k)
∴b²≠1(mod k)，c²≠1(mod k)
∴c²-b²≠0(mod k)
又因為：如果a,b,c滿足a²+b²=c²，則c²-b²=a²，那么c²-b²=0(mod a)，且a=2k，所以c²-b²=0(mod k),矛盾,舍去。
UPD
OK，以上充分性證明純屬扯淡……
這個公式事實上只能生成部分基本勾股數，下面介紹一個真正的，基本勾股數的充要條件：
既然已經過了這么久才編輯的，我還是換個字母吧：對於x²+y²=z²，充要條件是：x=2ab，y=a²-b²，z=a²+b²（a,b互質，且a,b為一奇一偶）。必要性是顯然的，至於充分性……誒，對學渣來說有點困難啊，咱慢慢來：
先說點定義的問題：顯然x,y是有一奇一偶的（如果都為偶數，那么z也是偶數，此時不是基本勾股數，如果都為奇數，通過對模4的二次剩余的討論，可以很容易證偽），所以我們可以設2 | x（這個符號是說x除以2為整數，在這里表示x是偶數），就有x=2ab。
首先是引理：對於不定方程uv=w²（w>0，u>0，u,v互質），它的一切解可以表示為u=a²，v=b²，w=ab（a>0，b>0，a，b互質）。
證明：寫出u，v的標准分解式=p1^e1·p2^e2·p3^e3…pk^ek，v=q1^f1·q2^f2·a3^f3……ql^fl，因為u，v互質，所以p,q中沒有相同的質數，因此，w²=p1^e1·p2^e2·p3^e3…pk^ek·q1^f1·q2^f2·a3^f3……ql^fl。所以e1，e2，e3……ek，f1，f2，f3……fk一定都是偶數，於是u，v都是完全平方數，那么顯然就證完了……
接下來是正式的證明：(x/2)²=x²/4=(z²-y²)/4=[(z+y)/2][(z-y)/2]，設d為(z+y)/2和(z-y)/2的最大公約數，則d | ((z+y)/2+(z-y)/2)=z，d | ([(z+y)/2]-[(z-y)/2])=y，又因為y，z互質，所以d=1。所以(z+y)/2與(z-y)/2互質。由引理知，存在(z+y)/2=a²，(z-y)/2=b²，x/2=ab。即x=2ab，y=a²-b²，z=a²+b²。
證畢。證明還是蠻簡潔易懂的嘛……
至於x，y，z互質的證明嘛……設x，y最大公因數為d，那么d | z=(a²+b²)且d | (a²-b²)，於是d | a²，d | b²，但是a,b互質，所以a²，b²互質，d就等於1了嘛，從而x，y互質，然后也能推出x,y,z互質。
有些同學反映看不懂很多符號，於是好多東西都是手寫的，好麻煩的說……
優美的排版，有種打程序縮進的感覺……