快速尋找勾股數算法的實現和優化

深夜隔壁寢室的老哥來訪，說他用python實現的尋找2000以內勾股數的算法跑了20秒鍾。邀請我一起討論優化思路，完成后記錄如下：

朴素探數法尋找勾股數

首先實現那個需要20秒鍾的朴素算法，思路非常簡單，三重for循環遍歷，利用了勾股數的以下性質：

a2 + b2 == c2

python代碼實現：

def gcd(m,n):
    return m if n == 0 else gcd(n,m%n)
def nfgg(max):
    results = []
    for a in range(1,max+1):
        for b in range(a,max+1):
            for c in range(b,max+1):
                if a*a + b*b == c*c and gcd(a,b) == 1:
                    results.append([a,b,c])
    for l in results:
        print(l)
    print("total : " + str(len(results)))
    return results
    

我已經對這種朴素算法進行了簡單優化，以下是注意事項：
1*，gcd()方法用於遞歸求公因數，此處用於除去派生勾股數，如6，8，10
2，b,c兩變量無需從1開始遍歷
3*，max是遍歷邊界，注意range()方法左閉右開的性質參數需填寫（1，max+1）

算法優化
嘗試了以上算法，發現確實慢的離譜，我通過查閱資料發現一種數學上的優化思路：

1． 定義：凡符合a2+b2=c2的正整數a,b,c我們稱之為一組勾股數。a和b是直角邊，c是斜邊。
2． 凡有公約數的勾股數我們稱之為派生勾股數，例[30，40，50] 等；
3． 無公約數的勾股數，例[3，4，5]；[8，15，17]等，我們稱之為勾股數。
有：全是偶數的勾股數必是派生勾股數，三個奇數不可能符合定義公式。兩偶一奇和兩奇一偶都可以被證明不符合公式條件，因此，勾股數唯一的可能性是：
           a和b分別是奇數和偶數（偶數和奇數），斜邊c只能是奇數。
4． 勾股數具有以下特性：
斜邊與偶數邊之差是奇數,這個奇數只能是某奇數的平方數, 例1,9,25,49,……
斜邊與奇數邊之差是偶數,這個偶數只能是某偶數平方數的一半, 2,8,18,32,……
5． 由以上定義我們推導出勾股公式：
           a = p2 + q2
           b = q2/ 2 + pq
           c =p2+ q2/ 2 + pq
6，此公式涵蓋了自然界的全部勾股數，包括派生勾股數。
以任意奇數代入P ，任意偶數代入Q ，即可得到唯一一組勾股數。
例如P = 5 ，Q = 8 ，得到
X = 25 + 5×8 = 65
Y = 32 + 5×8 = 72
Z = 25 + 32 + 5×8 = 97
當P與Q有公約數時，例如9與12 ，再例如21與28等，推導出來的是派生勾股數；
當P與Q無公約數時，例如9與8 ，再例如21與16等，推導出來的是勾股數；

（引用來自百度，有修改）
根據以上數學方法，可以得到一種代碼實現思路：
雙重for循環遍歷max內的奇數a和偶數b，
如果gcd(a,b) == 1：
如果t = aa + bb <= max :
尋找到一組勾股數（a,b,c=pow(t,0.5)）
優化：當 aa + bb > max時，跳出第二重循環
最后對結果進行簡單處理
python實現如下：

def gcd(m,n):
    return m if n == 0 else gcd(n,m%n)
def fgg(max):
    # find numbers
    results = []
    for i in range(1,max+1,2):
        for j in range(2,max+1,2):
            if gcd(i,j) == 1 :
                t = pow(i*i+j*j,0.5)
                if t > max:
                    break
                elif int(t) == t:
                    t = int(t)
                    results.append([i,j,t])
    # handle the resulta
    for l in results:
        l.sort()
    results.sort()
    for l in results:
        print(l)
    print("total : " + str(len(results)))
    return results

效率提升非常明顯，如果沒有特殊需要，代碼中的列表排序完全可以去除。

https://tieba.baidu.com/p/6435191370  http://blog.sina.com.cn/s/blog_184e9f38b0102yyi5.html  https://www.douban.com/group/topic/162687100/