使用級數理論解釋龜兔賽跑問題

首先簡要介紹一下該問題的原型：首先烏龜在兔子前面一段距離，現在它們開始進行賽跑(當然兔子的速度肯定遠快於烏龜)。然后下面的羅素悖論就出現了：當兔子跑到烏龜出發的位置時，這段時間烏龜已經跑了一段距離(當然這段距離有可能很短)。然后兔子又去跑剛才烏龜跑的那段距離。而這時候，烏龜又跑了一段距離(當然這段距離可能更短).然后兔子又要去跑烏龜剛跑的那段更短的距離.......然后給人一種感覺，兔子永遠都追不上烏龜。永遠都跟在它的后面跑。

不過這個問題已經在現代分析學中使用級數理論進行了解釋，用專業數學術語說，在兔子追烏龜的過程中，使用的時間是收斂的。

下面我們抽象一個數學模型解釋這個問題。

假設烏龜在兔子的前面距離為S,兔子的速度為V1,烏龜的速度為V2,,在追的過程中使用的總時間記為T.(其中V1>>V2)

記 C=V2/V1
下面分析一下這個問題，當兔子跑間隔S這段距離花的時間 T1=S/V1.
在這段時間之內烏龜又跑了的距離 S1=T1*V2
而跑完烏龜剛跑完的這段距離兔子又花了時間 T2=S1/V1=S*V2/(V1*V1)=(S/V1)*C
在T2時間之內烏龜又跑了 S2=T2*V2
而兔子跑完這段距離花的時間 T3=S2/V1=(S/V1)*C*C
...
從上面的分析不難得出總時間 T=T1+T2+T3+.....

T=S/V1+(S/V1)*C+(S/V1)*C^2+...=(S/V1)(1+C+C^2+C^3+...)
不難看出此為一個等比數列(在數學分析中稱為幾何級數或等比級數)

我們用極限理論簡要分析一下(幾何級數中因為C<1,很容易得出它是收斂的，收斂的結果為 S/(V1*(1-C))=S/(V1-V2),這和我們用小學數學算出的追趕時間是一致的，哈哈哈 )

利用等比數列的求和公式：

T=(S/V1)*(1-C^n)/(1-C) ---C<<1
當n趨向於正無窮大時：C^n趨於0，所以
T=S/(V1*(1-C))=S/(V1-V2)
證畢

經過上面的一系列分析，龜兔賽跑的追趕時間是收斂的，且毫不意外的收斂於 S/(V1-V2)。所以兔子是能夠追得上烏龜的。時間即為該收斂時間。