本書的第二版自 2007 年出版以來, 得到了廣大讀者的關心與肯定. 在 8 年來的教學實踐過程中, 我們陸續收到了兄弟院校的同行專家以及學生們的各種意見和建議. 另外, 普通高等教育“十二五”國家級規划教材《高等代數學 (第三版)》(復旦大學出版社) 已於 2014 年 10 月正式出版, 因此作為該教材配套的學習方法指導書, 本書第三版的修訂工作也提上了議事日程.
本書的第三版保持了第二版原有的框架和體系, 但在以下幾個方面做了進一步的修改和完善. 首先, 更正了第二版中出現的錯誤和不當之處, 並對原有的主題分類進行了適當的調整, 使得層次更加分明. 其次, 每一章節都增加了大量的例題, 使得總例題數達到了 700 余道, 篇幅較第二版增加了近三分之二, 全書內容更加豐富. 最后, 在第二版的基礎上還增加了一般數域上基於初等因子的相似標准型理論、線性映射和矩陣的廣義逆等教材中沒有涉及的內容.
不同於一般的高等代數習題集或考研輔導類的學習指導書, 本書具有以下幾個特點:
第一, 本書編寫的章節順序與《高等代數學 (第三版)》教材完全相同, 這使初學者能同步地學習教材和指導書, 循序漸進地掌握高等代數中的各類知識點和解題方法.
第二, 在主題的划分和例題的選取上主要按照方法和技巧進行分類, 而不是將例題按照章節內容簡單地羅列在一起, 突出強調方法和技巧在高等代數學習過程中發揮的作用.
第三, 在每一章節的開始部分或在某些例題解答之后的備注中, 都會對相同類型問題的解題方法和技巧做一歸納和總結, 這使讀者通過典型例題的學習之后能夠舉一反三、觸類旁通, 避免陷於題海戰術之中.
第四, 對書中 100 余道典型例題給出了多種證法或解法, 這些不同的方法往往穿插在各章節之中, 並隨着課程的深入不斷地被挖掘出來. 這不僅反映了高等代數各類知識點之間的有機聯系, 也將極大地激發讀者的發散性思維, 提高讀者的解題能力.
第五, 每一章的結構都是先闡述基本概念和定理, 然后精心講解典型例題, 最后還安排了一定數量的基礎訓練題 (全書共 450 余道), 包括單選題、填空題和解答題 3 種類型. 這一順序符合學習的規律, 也是復旦大學數學科學學院高等代數習題課通常的授課方式, 得到了歷屆學生的肯定, 取得了良好的教學效果.
第六, 本書的第三版融入了編者多年來在復旦大學數學科學學院教授高等代數課程所積累的教學體會以及最新的教學成果 (參考 [8]). 書中所選例題層次豐富、難度不一, 大部分來自復旦大學數學科學學院高等代數期中、期末考試試題 (包括一些原創性的命題), 還有一些例題選自兄弟院校的研究生入學考試試題以及全國大學生數學競賽試題等.
第七, 本書通過講解例題, 給出了許多重要知識點相關性質的完整總結, 比如伴隨矩陣的性質等. 另外, 許多重要解題方法的應用雖然分散在各章節中, 但只要讀者通篇閱讀之后仍然可將它們連線串珠、合為一體, 比如攝動法的應用等. 因此, 本書同樣適合參加研究生入學考試或參加全國大學生數學競賽的讀者備考之用.
在編者看來, 學好高等代數的方法應該是“深刻理解幾何意義; 熟練掌握代數方法; 強調代數與幾何之間的相互轉換和有機統一”, 而這也正是本書編寫的指導思想. 希望讀者能通過參考本書達到學習和掌握高等代數的目的.
本書的編寫得到了國家自然科學基金 (編號: 11422101) 和復旦大學數學科學學院的資助, 得到了復旦大學出版社范仁梅女士的大力幫助, 在此一並表示衷心的感謝! 真誠地歡迎廣大讀者以及同行專家提出進一步的批評意見和建議.
姚慕生 謝啟鴻
2015 年 7 月於復旦大學