圖形學筆記 —— 透視除法

本文采用左手坐標系，即z軸向屏幕里增長。

透視投影變換

透視投影變換，有三個詞組成：透視、投影、變換。我們逐個來理解。

• 透視：我理解為“有遠近感”的，也就是我們平時所說的近大遠小。而相對地，近少遠多：你站在山頂上，近處你只能看見附近幾棵花花草草，但是遠處你可以遠眺整個城市這么多東西。如果你把人視野內的東西還原回去三維，它們大概會分布在一個圓台上，不是么。
• 說到投影你會想到什么？如果是我，我會想到降維。將一條平面上的線段投影到一維的坐標軸上，將一個三維上的物體投影到二維平面上，這就是我們平時接觸到的投影。透視投影變換，就是后者，將三維的物體拍扁成二維的。好了，這個“二維的地方”是哪里呢：就是視網膜了。
• 變換：就是線性變換，這說明我們需要用一個矩陣去把它表達出來，一個齊次坐標變換矩陣。

透視投影變換的思路是：將想要變換的點，與瞳孔連接起來，成為一條視線。然后這條視線，與視網膜的交點，就是變換后的點了。：

如上圖所示，點 \((x, y, z)\) 在紫色的視線上穿過瞳孔，在視網膜上成像，像的y坐標y'就是紅色的那一段。不過我們知道眼球里的成像是反的，所以實際上我們求的不是紅色的那一段，而是與紅色那一段全等的綠色那一段。很顯然，我們可以找到相似三角的關系，我們假使視網膜（或者綠線）到瞳孔的距離是\(z_{r}\)，那么變換后綠點：

\[\left\{ \begin{aligned} x' &= y \frac {z_r} {z} \\ y' &= y \frac {z_r} {z} \\ z' &= z_r = z \frac {z_r} {z} \\ \end{aligned} \right. \]

\(1/z\) 這個因子可以通過令 \(\omega = z\) 來實現，寫成矩陣，就是：

\[\begin{bmatrix} z_r & 0 & 0 & 0 \\ 0 & z_r & 0 & 0 \\ 0 & 0 & z_r & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \]

透視除法

可以一眼看出，上面那個矩陣的秩只有3，這說明我們損失了一個維度（從這個矩陣的求法也可以看出，損失的是深度z維）。弄丟了深度信息，這使得深度測試和裁剪都非常難以執行。於是我們想了一個辦法讓深度信息得以保留，這就是透視除法。透視仍然是透視，那么除法是什么呢？稍后有解答。

透視除法的思路是：將視野（平截頭體）內所有的東西都變形，然后擠壓到一個小立方體里面。就像一個黑洞，當你掉進一個針孔般大的黑洞的時候，你會被擠壓得比針孔還要小很多（我不懂物理這是我胡說的）。

好了，用什么數學方法去擠壓它呢？答案就是除法：（下圖中，兩條綠線分別除以兩條藍線）

這樣理解：當我們看到一個點的時候，這個點背后的所有物質都不會影響我們看到這個點的位置。將它在平截頭體內三個方向的物質數，比上它到鏡頭前三個方向的物質數，就是這個比值的意義。這樣除完之后，再將它規整成一個2x2x2的立方體，然后整個平移到原點周圍。這個立方體就叫做規則觀察體（CVV, Canonical View Volume）。我們定量分析這個過程，Y方向的視角我們設作 \(\theta\) （如上圖所標注），X方向的視角我們設作 \(\psi\)，平截頭體的兩個底，前面的叫做近裁剪面，后面的叫做遠裁剪面，它們離鏡頭的距離分別設作 \(z_n, z_f\)：

\[\left\{ \begin{aligned} x' &= \frac {x} {z \tan \psi / 2 } \\ y' &= \frac {y} {z \tan \theta / 2 } \\ z' &= 2 \cdot \frac {z-n} { z \frac { f-n } f} - 1 = \frac 1 z ( \frac {f+n} {f-n} \cdot z - \frac {2fn} {f-n} ) \end{aligned} \right. \]

寫成矩陣，也即：

\[\begin{bmatrix} \cot \frac \psi 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cot \frac \theta 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac {f+n} {f-n} & - \frac {2fn} {f-n} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \]

更直觀的求法，就是利用我們需要的是一個確定位置的2x2x2立方體這個條件，用方程將值求出來。

透視投影和透視除法的關系

事實上兩者的形式很相似，拿\(\cot \frac \theta 2\)來說，它不就是當那條綠線長度等於1的時候的 \(z_r\) 么。透視除法比透視投影多出來的，就是對片斷的深度信息的保存。另外，將它變換到一個規范立方體中也有利於裁剪的進行：只需要簡單地比較坐標是否在正方體中，否則削除這個點，或者截斷直線。