一種另類的計算向量旋轉公式（復雜慎用）

　　一般來說，我們解決向量旋轉問題一般要么是用旋轉矩陣，要么是用四元數。但很早以前我從網上找了一種比較另類的函數，當時也沒有深究。最近又把這個函數拿出看看，仔細一琢磨，發現真的很另類。這里分享一下，就當是擴展一下思維。這個旋轉方法據說叫Rodrigues旋轉公式。

　　這個方法的公式是這樣的，P'=P·cosθ + (A×P)sinθ +A(A·P)(1 - cosθ)。這種公式任誰第一眼看到都會摸不着頭腦，我們首先來將公式換一個寫法：

 圖1

　　這個公式中|A|=1。為什么這樣變換呢？因為P'正好是三個向量相加，后面會詳細分析的，我們先將假設P'=u₁+u₂+u₃。接下來我們分析每一項具體是什么。如圖2所示，P繞A軸旋轉θ角，其中θ角如圖位置。φ角是向量P和軸A之間的夾角。u₁是向量P在A軸的投影，u₂是向量(P'-u₁)在向量(P-u₁)的投影，u₃是從u₂末端到P'的向量，垂直於u₂。

 

圖2

　　u₁的公式如下：

圖3

　　其中|A|=1，u₂的公式如下：

圖4

　　其中|P-u₁|=|P'-u₁|，u₃的公式如下：

圖5

　　其中公式已經很清楚的闡述了推理過程，下面貼出實現的函數代碼。

 

void rotateWithAxis(CVector3& rotate, CVector3& axis, GLdouble angle, CVector3& direct)
{
	/*
		P繞A軸旋轉角度θ，得到新的向量P'，則：
		P'=P * cosθ + (A×P)sinθ +A(A·P)(1 - cosθ)
		其中A為單位向量，旋轉角度θ為"逆時針方向"旋轉的角度。

		rotate 表示的是向量P
		axis     表示的是軸A
		angle   表示的是角度θ
		direct  表示的是向量P'

		A×P=（ay * pz- az * py, ax * pz- az * px , ax * py- ay * px）
		A·P = ax * px + ay * py + az * pz
	*/
#define PI 3.1415926535898
#define Cos cos(anglePI)
#define Sin sin(anglePI)
	GLdouble anglePI = angle/180 * PI;
	CVector3 cross;
	GLdouble s;
	axis.Normal();
	cross = CVector3::Cross(rotate, axis);
	s = rotate[0]*axis[0] + rotate[1]*axis[1] + rotate[2]*axis[2];
	
	direct.SetVector3(rotate[0]*Cos + cross[0]*Sin + axis[0]*s*(1-Cos),
		rotate[1]*Cos + cross[1]*Sin + axis[1]*s*(1-Cos), rotate[2]*Cos + cross[2]*Sin + axis[2]*s*(1-Cos));
}