數據結構之圖（一）圖的存儲結構

　　圖的存儲結構相對於線性表和樹來說更為復雜，因為圖中的頂點具有相對概念，沒有固定的位置。那我們怎么存儲圖的數據結構呢？我們知道，圖是由(V, E)來表示的，對於無向圖來說，其中 V = (v₀, v₁, ... , v_n)，E = { (v_i,v_j) (0 <=  i, j <=  n且i 不等於j)}，對於有向圖，E = { < v_i,v_j > (0 <=  i, j <=  n且i 不等於j)}。V是頂點的集合，E是邊的集合。所以我們只要把頂點和邊的集合儲存起來，那么該圖的所有數據就能夠存儲起來了。

　　本文只介紹兩種比較常見和重要的圖的存儲結構：鄰接矩陣和鄰接表。

　　鄰接矩陣，顧名思義，是一個矩陣，一個存儲着邊的信息的矩陣，而頂點則用矩陣的下標表示。對於一個鄰接矩陣M，如果M(i,j)=1，則說明頂點i和頂點j之間存在一條邊，對於無向圖來說，M (j ,i) = M (i, j)，所以其鄰接矩陣是一個對稱矩陣；對於有向圖來說，則未必是一個對稱矩陣。鄰接矩陣的對角線元素都為0。下圖是一個無向圖和對應的臨街矩陣：

　　圖1：無向圖

圖2：鄰接矩陣

需要注意的是，當邊上有權值的時候，稱之為網圖，則鄰接矩陣中的元素不再僅是0和1了，鄰接矩陣M中的元素定義為：。

　　以下用C語言創建一個無向圖的鄰接矩陣：

　　頭文件是：GraphStruct.h

/*GraphStruct.h
* 圖的鄰接矩陣存儲方式，結構由頂點數量、邊數量、頂點集合和邊集合組成。
* 其中頂點集合一維數組，根據頂點的數量動態分配數組大小。
* 邊集合是二維數組，根據頂點的數量來動態分配數組大小，對於無向圖來說，該鄰接矩陣是對稱矩陣。
* 鄰接矩陣比較適用於稠密圖
*/
typedef char vertexType;
typedef int edgeType;
typedef struct GraphMatrix{

    int vertexNumber;            // 頂點數量
    int edgeNumber;                // 邊的數量
    vertexType *vertex;            // 頂點集合，動態數組
    edgeType** edge;            // 邊集合，二維動態數組

} GraphMatrix;

void GraphMatrix_create(GraphMatrix *g);

　　該頭文件包含了鄰接矩陣的數據結構，結構體的成員變量包括頂點數量、邊的數量、頂點集合和邊的集合。為了節省空間，將頂點集合和邊集設為動態數組，根據頂點數量來分配空間。

 　實現文件是：GraphStruct.c

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include"GraphStruct.h"

void GraphMatrix_create(GraphMatrix *g){

    printf("請分別輸入圖的頂點數量和邊的數量，用空格隔開：");
    scanf("%d %d", &g->vertexNumber, &g->edgeNumber);  //將頂點數量和邊的數量存儲在結構體g中相應的變量
    g->vertex = (vertexType*)malloc(g->vertexNumber * sizeof(vertexType)); //為動態數組申請空間
    //二維動態數組申請空間
    g->edge = (edgeType**)malloc(g->vertexNumber * sizeof(edgeType));        
    for (int i = 0; i < g->vertexNumber; i++){
        g->edge[i] = (edgeType*)malloc(g->vertexNumber * sizeof(edgeType));
    }
    //初始化鄰接矩陣的所有元素
    for (int i = 0; i < g->vertexNumber; i++){
        for (int j = 0; j < g->vertexNumber; j++)
            g->edge[i][j] = 0;
    }
    
    //輸入圖的信息
    for (int k = 0; k < g->edgeNumber; k++){

        int i, j;
        printf("請輸入邊(vi,vj)的下標, i和j，用空格隔開:");
        scanf("%d%d", &i, &j);
        g->edge[i][j] = 1;    //（i，j）和(j，i)指的是一條邊
        g->edge[j][i] = 1;
    }
    
    //輸出圖的信息
    printf("Your graph matrix is :\n");
    for (int i = 0; i < g->vertexNumber; i++){
        for (int j = 0; j < g->vertexNumber; j++){
            printf("%d\t", g->edge[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

　　測試文件為：main.c

 

#include<stddef.h>
#include "GraphStruct.h"

int main(){
    
    GraphMatrix *gm;
    gm = (GraphMatrix *)malloc(sizeof(GraphMatrix));
    GraphMatrix_create(gm);
   10 
    return 0;
}

 

 

 

　　運行結果為：

 

圖3 運行結果

　　對於有向圖，網圖的代碼，只要將上面的代碼稍微修改就行了，本文末尾附上代碼的下載地址。

　　對於頂點數很多但是邊數很少的圖來說，用鄰接矩陣顯得略為“奢侈”，因為矩陣元素為1的很少，即其中的有用信息很少，但卻占了很大的空間。所以下面我們來看看鄰接表，以圖1的無向圖為例，我們先不講理論的知識，先把圖1的鄰接表畫出來，如圖4。

 

 

圖4 鄰接表 

　　作為頂點0，它的鄰接頂點有1,3,4，形成的邊有(0,1),(0,3)和(0,4)，所以頂點0將其指出來了；對於頂點1，它的鄰接頂點有0,2,4，所以頂點1將其指出來了，以此類推。他們的邊沒有先后順序之分。對於邊(i,j)，鄰接表如下：

圖5 (i,j)的鄰接表

　　左邊的節點稱為頂點節點，其結構體包含頂點元素和指向第一條邊的指針；右邊的為邊節點，結構體包含邊的頂點對應的下標，和指向下一個邊節點的指針。對於有權值的網圖，只需要在邊節點增加一個權值的成員變量即可。

　　實現鄰接表存儲結構的代碼如下：

　　頭文件是：GraphStruct.h

/*
 *圖的另一種存儲結構是鄰接表

*/
typedef struct ListEdgeNode{
    int index;                    // 邊的下標
    struct ListEdgeNode *next;            // 指向下一個節點的指針
}ListEdgeNode;

typedef struct ListVertexNode {
    vertexType vertex;            // 頂點
     ListEdgeNode *fistEdge;        // 指向第一條邊
} ListVertexNode;

typedef struct GraphList{
    int vertexNumber;            // 頂點的數量
    int edgeNumber;                // 邊的數量
    ListVertexNode *vertex;        // 頂點集合，動態數組
}GraphList;

void GraphList_create(GraphList *g); 

　　該文件定義的結構體如上所述，GraphList是鏈接表的結構體，包含了頂點數，邊數和頂點集，其中頂點集根據頂點個數分配內存空間。

　　實現文件是：GraphStruct.c

void GraphList_create(GraphList *g){
    printf("請分別輸入圖的頂點數量和邊的數量，用空格隔開：");
    scanf("%d %d", &g->vertexNumber, &g->edgeNumber);        //將頂點數量和邊的數量存儲在結構體g中相應的變量
    //為動態數組申請空間
    g->vertex = (ListVertexNode*)malloc(g->vertexNumber * sizeof(ListVertexNode));
    //初始化頂點指的第一條邊
    for (int i = 0; i < g->edgeNumber; i++){
        g->vertex[i].fistEdge = NULL;
    }

    //輸入圖的信息
    ListEdgeNode *listEdgeNode;
    for (int k = 0; k < g->edgeNumber; k++){
        int i, j;
        printf("請輸入邊(vi,vj)的下標, i和j，用空格隔開:");
        scanf("%d%d", &i, &j);
        //始終將插入的節點放在頂點所指的地一條邊
        listEdgeNode = (ListEdgeNode *)malloc(sizeof(ListEdgeNode));
        listEdgeNode->index = j;
        listEdgeNode->next = g->vertex[i].fistEdge;
        g->vertex[i].fistEdge = listEdgeNode;

        listEdgeNode = (ListEdgeNode*)malloc(sizeof(ListEdgeNode));
        listEdgeNode->index = i;
        listEdgeNode->next = g->vertex[j].fistEdge;
        g->vertex[j].fistEdge = listEdgeNode;

    }

    //輸出圖的信息
    ListEdgeNode * len = NULL;
    for (int i = 0; i < g->vertexNumber; i++){
        
        if (g->vertex[i].fistEdge != NULL)
            len = g->vertex[i].fistEdge;
        while (len!= NULL){
            printf("%d --- %d\t", i,len->index);
            len = len->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

　　測試文件是：main.c

#include<stddef.h>
#include "GraphStruct.h"

int main(){
    
    
    GraphList *gl;
    gl = (GraphList*)malloc(sizeof(GraphList));
    GraphList_create(gl);
    return 0;
}

　　運行結果為：

 

　　

　　

　　鄰接矩陣適合於點少邊多的圖，而對於邊少的圖，可以考慮用鄰接表。但是對於有向圖，鄰接表的表示有多種，有些更為復雜，在這里不一一闡述，有興趣的可以跟本人交流。

 　　源代碼下載：http://pan.baidu.com/s/1hqeYahQ