向量卷積與多項式乘法

 

對於兩個離散序列f[n],g[m],可以將卷積定義為

s[k]=∑f[j]g[k-j]

回憶我們學過的多項式乘法，比如(x²+2x+1)(3x+2)

一般的計算方式是

(x²+2x+2)(3x+2) = (x²+2x+2)*3x+(x²+2x+2)*2

= 3x³+6x²+6x+2x²+4x+4

合並同類項之后

得到 3x³

6x²+2x²

6x+4x

4

----------------

3x³+8x²+10x+4

從線性代數的角度來看，多項式可以構成一個向量空間，通過選定一組基底

{1，x，x²，x³……}

就可以很容易將多項式與某維度的坐標向量相對應，這里采用降冪

1.(x²+2x+2)—>(1 2 2) ;

2.(3x+2)-à(3 2)

通過上面的卷積定義，可以得到向量卷積的定義

對於長度為m的向量u與長度為n的向量v的卷積

w(k)= ∑(u(j)*v(k+1-j)) 向量w的長度為m+n-1

ps:向量u對應的多項式最高次冪為x^m-1，向量v的是 x^n-1，兩個多項式相乘之后最高次冪為x^m+n-2，最低次冪為x⁰ ，也就是1，所以得到的長度為m+n-1

根據上面的向量卷積的形式來重新處理坐標向量1,2(將1倒置)

(2 2 1)*(3 2)

計算方式：

A = x =(0 0 3 2 0 0)'

b = Ax=(3 8 10 4)'

A的每一行都代表序列(2 2 1)移動一位，然后與x做內積，通過一系列的向量內積，這樣也得到了多項式相乘的結果。