《算法導論》讀書筆記之圖論算法—Dijkstra 算法求最短路徑

自從打ACM以來也算是用Dijkstra算法來求最短路徑了好久，現在就寫一篇博客來介紹一下這個算法吧 :)

Dijkstra（迪傑斯特拉）算法是典型的最短路徑路由算法，用於計算一個節點到其他所有節點的最短路徑。
主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。Dijkstra算法能得出最短路徑的最優解，
但由於它遍歷計算的節點很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路徑算法，在很多專業課程中都作為基本內容有詳細的介紹，比如數據結構、圖論、運籌學等。

 

首先，大家需要明確的是，Dijkstra算法是用來解決non-negative-weight的最短路程問題的

如果圖中存在負權圖，可以嘗試使用 Bellman-Ford 暴力法或者 SPFA 算法解決

 

那么用它能來解決什么問題呢？

我之前寫過如下幾篇博文

1. 多個起點，一個終點，求從起點到終點的最短路（也可以理解成可以解決多點到多點的最短路）http://www.cnblogs.com/wushuaiyi/p/3647246.html
2. 第k短路（與A*算法有關） http://www.cnblogs.com/wushuaiyi/p/3892970.html
3. 臨接表下Dijkstra實現模板以及帶heap優化http://www.cnblogs.com/wushuaiyi/p/3714674.html

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下面來一個最容易理解的Dijkstra C++實現版本 （鄰接矩陣）：

const int  MAXINT = 32767;
const int MAXNUM = 10;
int dist[MAXNUM];
int prev[MAXNUM];

int A[MAXUNM][MAXNUM];

void Dijkstra(int v0)
{
  　　bool S[MAXNUM];                                  // 判斷是否已存入該點到S集合中
      int n=MAXNUM;
  　　for(int i=1; i<=n; ++i)
 　　 {
      　　dist[i] = A[v0][i];
      　　S[i] = false;                                // 初始都未用過該點
      　　if(dist[i] == MAXINT)    
            　　prev[i] = -1;
 　　     else 
            　　prev[i] = v0;
   　　}
   　 dist[v0] = 0;
   　 S[v0] = true; 　　
 　　 for(int i=2; i<=n; i++)
 　　 {
       　　int mindist = MAXINT;
       　　int u = v0; 　　                            // 找出當前未使用的點j的dist[j]最小值
      　　 for(int j=1; j<=n; ++j)
      　　    if((!S[j]) && dist[j]<mindist)
      　　    {
         　　       u = j;                             // u保存當前鄰接點中距離最小的點的號碼 
         　 　      mindist = dist[j];
       　　   }
       　　S[u] = true; 
       　　for(int j=1; j<=n; j++)
       　　    if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)
       　　    {
           　    　if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在通過新加入的u點路徑找到離v0點更短的路徑  
           　    　{
                   　　dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist 
                   　　prev[j] = u;                    //記錄前驅頂點 
            　　    }
        　    　}
   　　}
}

算法思想：設G=(V,E)是一個帶權有向圖，把圖中頂點集合V分成兩組，
第一組為已求出最短路徑的頂點集合（用S表示，初始時S中只有一個源點，
以后每求得一條最短路徑 , 就將加入到集合S中，直到全部頂點都加入到S中，算法就結束了），
第二組為其余未確定最短路徑的頂點集合（用U表示），按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入S中。
在加入的過程中，總保持從源點v到S中各頂點的最短路徑長度不大於從源點v到U中任何頂點的最短路徑長度。
此外，每個頂點對應一個距離，S中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度，U中的頂點的距離，
是從v到此頂點只包括S中的頂點為中間頂點的當前最短路徑長度。

 

　　

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算法實例

先給出一個無向圖

下面的表格可以幫助大家理解算法

 

 

資料來源：http://cnblogs.com/wushuaiyi

http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html