【動態規划】---電路布線

問題描述：

在一塊電路板的上、下兩端分別有n個接線柱。根據電路設計，要求用導線(i,π(i)) 將上端接線柱i與下端接線柱π(i)相連，如下圖。其中，π(i),1≤ i ≤n,是｛1,2,…,n｝的一個排列。導線(I, π(i))稱為該電路板上的第i條連線。對於任何1 ≤ i ≤ j ≤n,第i條連線和第j條連線相交的充要條件是π(i)> π(j).

 

π（i）=｛8，7，4，2，5，1，9，3，10，6｝

         在制作電路板時，要求將這n條連線分布到若干絕緣層上。在同一層上的連線不相交。電路布線問題要確定將哪些連線安排在第一層上，使得該層上有盡可能多的連線。換句話說，該問題要求確定導線集Nets = ｛i，π(i)，1 ≤ i ≤ n｝的最大的一個子集，這個子集中的導線互相不相交。    

問題分析：

   顯然這是一個組合問題，對於組合問題中求最優解的方法基本都是動態規划算法。現在表述一下如何划分子問題：

   用B(i,j)表示最優解，其中，i是上端接線柱的序號，j是下端接線柱的序號，B(i,j)表示序號小於或等於i的上端接線柱和序號小於或等於j的下端接線柱中不相交連線的最大集合。  用size(i,j)表示集合中導線的數目（size(i,j)=|B(i,j)|）。B(i,j)的值蘊含在B(i-1,j)和B(i,j-1)這倆個子問題中，對於有2xN個接線柱的電路板，那么B(N,N)就是其解了。

 對於上端接線柱t，用 π(t)表示與他相連的下端接線柱

  那么遞推公式為：

             B(i-1,j-1)U{(i,j)},( j==π(i))

B(i,j)=

            size(i-1,j)>size(i,j-1)?B(i-1,j):B(i,j-1) ,(j!== π(i))

 

 

                Size(i-1,j-1)+1, (j==π(i))

Size(i,j)= 

               Max(size(i-1,j),size(i,j-1)), (j!== π(i))

 

 

遞推公式證明：

   對於從B(i-1,j)或B(i,j-1)到B(i,j)要么會多加一條導線，要么不加。

  1. 當 j==π(i)時，（i,j）則是一條導線，且這條導線對B(i-1,j-1)的值沒有影響，因為B(i-1,j-1)中的任意的一條導線的節點序號（無論是上端節點序號還是下端節點序號）都小於i,j,這由其空間位置決定的。

  現在求B(i,j), 即求序號小於或等於i的上端接線柱和序號小於或等於j的下端接線柱中不相交導線的最大集合。顯然應是B(i-1,j-1)U(i,j).

 2 . 當j!= π(i)時。假如問題是從B(i,j-1)到B(i,j)，那么下端新加入的接線柱j要么與上端的1至i-1個接線柱構成導線（與第i個接線柱構成導線的情況在上面已經討論），要么不構成。

      如果構成的話那么這種情況其實已經在B(i-1,j)中討論了，這里不再考慮。那么B(i,j) 應是序號區間比他小一點的子問題的解。小一點是多少，肯定就是少一個接線柱了,也就是B（i-1,j）。

      如果不構成的話，那么B(i,j)肯定就是序號區間比他小一點的子問題的解了。

      對於B(i,j)可能由B(i-1,j)或B(i,j-1)過渡而來，所以B(i,j)取其中較大的一個。

int main()
{
     int  sub[n]={...};//按序存放下端對應接線柱序號
     int matrix[n+1][n+1][2]={0};
     for(int i=1;i<n+1;i++)
     {
         for(int j=1;j<n+1;j++)
         {
           if(j==sub[i])
          {
            matrix[i][j][0]=matrix[i-1][j-1][0]+1;
               matrix[i][j][1]=0;
          }else
          {
             matrix[i][j][0]=matrix[i-1][j][0]>matrix[i][j-1][0]?matrix[i-1][j][0]:matrix[i][j-1][0];
               matrix[i][j][1]=matrix[i-1][j][0]>matrix[i][j-1][0]?1:2;
            }
      }
    }
    cout<<"the result is :"<<matrix[n][n][0]<<endl;//輸出的是最大導線集中導線的數目,有保存中間決策結果
 return 0;
 }