動態規划---LIS

LIS--最長非降子序列

(講DP基本都會講到的一個問題LIS：longest increasing subsequence)

題目詳情：一個序列有N個數：A[1],A[2],…,A[N]，求出最長非降子序列的長度。 

舉個實際的例子來說，對於這個序列：5，3，4，8，6，7，求出其最長非降子序列的長度。

根據動態規划的基本思想，分析問題的狀態及其狀態轉移方程，假設d(i) = j，i表示取序列的前i個數，j表示這前i個數字的最長非降序列的長度，首先我們來對前面幾個數作分析：d(1) = 1，這個毋庸置疑的，前一個數的LIS就是1，當i = 2時，看到前兩個數是（5, 3）由於3比5要小，所以d(2) = 1;當i = 3時，序列為(5, 3, 4)，4比3要大，比5要小，這個時候這個序列的子序列最大的顯然為2，所以d(3) = 2；當i = 4時，序列為(5, 3, 4, 8)，8比前三個數都要大，但是要取出最長的非降子序列應該是(3, 4, 8)而不是(5, 8),分析到這里，就知道，在構造狀態轉移方程的時候，等式右邊應該是一個比較結果的最大值，那又是哪些的比較結果呢？動態規划一般是要利用前面所得到的結果，這樣才不會產生重復計算的問題，減少運算量。因此，參加“比較”的應該就是前面計算的到的結果進行比較，最后我們得到狀態轉移方程為

　　　　d(i) = max{ 1,  d(j)+1} ,且滿足當i > j時，A[i] >= A[j]      (注： 對於任意的i，都有d[i] >= 1)

　　我們來分析一下這個方程，max顯然是為了找到最長的非降子序列，容易理解，在max里面加入1作為比較的一員，是因為，最壞的情況就是序列是單調遞減的，那么每個數都是一個最長非降子序列，一個數的長度當然為1；那d[j]為什么要加1呢，因為你比較的數A[i] >= A[j]，那么A[i]就是最長子序列的一員，所以直接在d[j]上加1，分析完畢。

　　得到了狀態轉移方程，慣例就是通過代碼來實現它。

 

/*
    動態規划
    PRO: 一個序列有N個數：A[1],A[2],…,A[N]，求出最長非降子序列的長度。
       (講DP基本都會講到的一個問題LIS：longest increasing subsequence)
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
int DPLIS(int Arr[], int n)
{
    int iterx = 0, itery = 0;
    int maxVal = 0;
    int *d = (int *)malloc(sizeof(int) * n);
    memset(d, 0, sizeof(int) * n);
    for(iterx = 0; iterx < n; iterx++ )
    {
        d[iterx] = 1;
        for(itery = 0; itery < iterx; itery++)
        {
            if(Arr[iterx] >= Arr[itery])
            {
                d[iterx] = d[iterx] > d[itery] + 1 ? d[iterx] : d[itery] + 1;
            }
        }
        if(maxVal < d[iterx])
        {
            maxVal = d[iterx];
        }
    }
    free(d);
    return maxVal;
}
int main(void)
{
    int Arr[100] = {4, 5,3 ,3 ,3 ,3 ,6 ,5 ,1 ,2};
    int n = 10;
    //int i;
//    for(i = 100; i > 0; i--)
//    {
//        Arr[100 - i] = i ;
//    }
    printf("the result is %d\n",DPLIS(Arr, n));
    return 0;
}