一直以來都不理解向量無窮范數如何從p范數得來，最近正看到極限，借此推導一遍。
1- p-范數
若 $x=\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]^{T}$，那么 $$\| x\|_{p}=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots+|x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}}$$
當 $p$ 取 $1, 2, \infty$ 時， 分別得到：
$1$-范數： $\|x\|_{1}=|x_{1}|+|x_{2}|+\cdots+|x_{n}|$
$2$-范數： $\|x\|_{2}=(|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\cdots+|x_{n}|^{2})^{\frac{1}{2}}$
$\infty$-范數： $\|x\|_{\infty}=\max(|x_{1}|, |x_{2}|, \cdots, |x_{n}|)$
2- $\infty$-范數的推導
證明：
由定義$\| x\|_{p}=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots+|x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}}$，記 $x_{max}=\max(|x_{1}|, |x_{2}|, \cdots, |x_{n}|)$
\[\begin{eqnarray}\lim\limits_{p\to\infty}\|x\|_{p}&=&\lim\limits_{p\to\infty}x_{max}\cdot\Big(\big(\frac{\|x_{1}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\big(\frac{\|x_{2}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\cdots+\big(\frac{\|x_{n}\|}{x_{max}}\big)^{p}\Big)^{\frac{1}{p}}\nonumber\\&=&x_{max}\cdot\lim\limits_{p\to\infty}\Big(\big(\frac{\|x_{1}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\big(\frac{\|x_{2}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\cdots+\big(\frac{\|x_{n}\|}{x_{max}}\big)^{p}\Big)^{\frac{1}{p}}\nonumber\end{eqnarray}\]
因 $1\leq\sum\limits_{i}\big(\frac{\|x_{i}\|}{x_{max}}\big)^{p}\leq n$，故由 $\lim\limits_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}=1$ 及 夾逼原理，有$$\lim\limits_{p\to\infty}\Big(\big(\frac{\|x_{1}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\big(\frac{\|x_{2}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\cdots+\big(\frac{\|x_{n}\|}{x_{max}}\big)^{p}\Big)^{\frac{1}{p}}=1$$
從而 $\lim\limits_{p\to\infty}\|x\|_{p}=x_{max}$.