【基礎算法】回溯法與八皇后問題

 

 

　　在國際象棋中，皇后是最強大的一枚棋子，可以吃掉與其在同一行、列和斜線的敵方棋子。比中國象棋里的車強幾百倍，比她那沒用的老公更是強的飛起（國王只能前后左右斜線走一格）。上圖右邊高大的棋子即為皇后。

 　　八皇后問題是這樣一個問題：將八個皇后擺在一張8*8的國際象棋棋盤上，使每個皇后都無法吃掉別的皇后，一共有多少種擺法？此問題在1848年由棋手馬克斯·貝瑟爾提出，豈止是有年頭，簡直就是有年頭，82年的拉菲分分鍾被秒的渣都不剩。

　　八皇后問題是典型的回溯法解決的問題，我們以這個問題為例介紹回溯法。

　　所謂回溯法，名字高大上，思想很朴素。設想把你放在一個迷宮里，想要走出迷宮，最直接的辦法是什么呢？沒錯，試。先選一條路走起，走不通就往回退嘗試別的路，走不通繼續往回退，直到找到出口或所有路都試過走不出去為止。

是的你沒說錯，這就是暴力破解。對於BigMoyan這種簡單粗暴不喜歡動腦子的人來說實在是太合適了，盲僧李青說得好：如果暴力不是為了解題，那就毫無意義了。

 

　　盡管回溯法也算是暴力方法，但也不是特別暴力，特別暴力的相關部門都不讓播，能播的都是可以接受的暴力。怎么說？考慮八皇后問題，解決這個問題最暴力的辦法是這樣的：

　　有關部門不讓播的方法：

　　從8*8=64個格子里選8個格子，放皇后，測試是否滿足條件，若滿足則計數加1，否則換8個格子繼續試。

　　很顯然， 64中選8，並不是個小數字，十億級別的嘗試次數，夠暴力。

　　這還是8*8的格子，要是換圍棋棋盤……這畫面太美我都不敢算。

　　稍加分析，我們可以得到一個不那么暴力的辦法，顯然，每行每列最多只能有一個皇后，如果基於這個事實進行暴力破解，那結果會好得多。安排皇后時，第一行有8種選法，一旦第一行選定，假設選為（1，i），第二行只能選（2，j），其中j!=i，所以有7種選法。以此類推，需要窮舉的情況有8！=40320種。

　　看起來這個結果已經不錯了，但嘗試的次數是隨問題規模按階乘水平提高的，BigMoyan仍然不滿意——咋可能滿意嘛！回溯法還沒出，我要是滿意了剩下的篇幅講啥。

　　8皇后太多，后宮太過豐富BigMoyan可hold不住，不如我們先裁一半分析試試，於是BigMoyan與4位皇后辦了離婚手續，同時把家縮小了一半，那么現在問題變成了4皇后問題，4個皇后在4*4的格子里各自安排不打架，一共有多少種安排方法？

 

　　試着來窮舉一下，真的需要4！=24次嘗試嗎？

　　現在我們把第一個皇后放在第一個格子，被塗黑的地方是不能放皇后的。

 

　　第二行的皇后只能放在第三格或第四格，比方我們放第三格，則：

　　糟啦擼，前兩位皇后沆瀣一氣，已經把第三行全部鎖死了，第三位皇后無論放哪里都難逃被吃掉的厄運。於是在第一個皇后位於1號，第二個皇后位於3號的情況下問題無解。我們只能返回上一步來，給2號皇后換個位置。

　　顯然，第三個皇后只有一個位置可選。當第三個皇后占據第三行藍色空位時，第四行皇后無路可走，於是發生錯誤，返回上層調用（3號皇后），而3號也別無可去，繼續返回上層調用（2號），2號已然無路可去，繼續返回上層（1號），於是1號皇后改變位置如下，繼續搜索。

　　話說道這里，想必讀者對“回溯法”已經有了基本概念。然而所謂知易行難，理解算法和將算法寫出來完全是兩回事。按照BigMoyan的風格，下面該進行算法分析了，下面的代碼改寫自劉汝佳《算法競賽入門經典》，幾乎是BigMoyan看到的實現8皇后問題最簡潔的代碼，改寫后整個函數只有10行。

void queen(int row){
    if(row==n)
        total++;
    else
        for(int col=0;col!=n;col++){
            c[row]=col;
            if(is_ok(row))
                queen(row+1);
        }        
}

 

　　算法是逐行安排皇后的，其參數row為現在正執行到第幾行。n是皇后數，在八皇后問題里當然就是8啦。

　　第2行好理解，如果程序當前能正常執行到第8行，那自然是找到了一種解法，於是八皇后問題解法數加1。

　　如果當前還沒排到第八行，則進入else語句。遍歷所有列col，將當前col存儲在數組c里，然后使用is_ok()檢查row行col列能不能擺皇后，若能擺皇后，則遞歸調用queen去安排下一列擺皇后的問題。

　　還不太清楚？再慢點來，剛開始的時候row=0，意思是要對第0行擺皇后了。

　　If判斷失敗，進入else，進入for循環，col初始化為0

　　顯然，0行0列的位置一定可以擺皇后的，因為這是第一個皇后啊，后宮空盪她想怎么折騰就怎么折騰，於是is_ok(0)測試成功，遞歸調用queen(1)安排第1行的皇后問題。

　　第1行時row=1，進來if依然測試失敗，進入for循環，col初始化為0。1行0列顯然是不能擺皇后的，因為0行0列已經有一個聖母皇太后在那擱着了，於是is_ok()測試失敗，循環什么也不做空轉一圈，col變為1。1行1列依然is_ok()測試失敗，一直到1行2列，發現可以擺皇后，於是繼續遞歸queen(2)去安排第二個皇后位置。

　　如果在某種情況下問題無解呢？例如前面在4皇后問題中，0行0列擺皇后是無解的。假設前面遞歸到queen(2)時候，發現第2行沒有地方可以擺皇后，那怎么辦呢？要注意queen(2)的調用是在queen(1)的for循環框架內的，queen(2)若無解，則自然而然queen(1)的for循環col自加1，即將第1行的皇后從1行2列改為1行3列的位置，檢查可否放皇后后繼續安排下一行的皇后。如此遞歸，當queen(0)的col自加到7，說明第一列的皇后已經遍歷了從0行1列到0行7列，此時for循環結束，程序退出。

　　在主函數中調用queen(0)，得到正確結果，8皇后問題一共有92種解法。

　　全部程序如下：

 

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;

int n=8;
int total=0;
int *c=new int(n);

bool is_ok(int row){
    for(int j=0;j!=row;j++){
        if(c[row]==c[j] || row-c[row]==j-c[j] || row+c[row]==j+c[j])
            return false;
    }
    return true;
}

void queen(int row){
    if(row==n)
        total++;
    else
        for(int col=0;col!=n;col++){
            c[row]=col;
            if(is_ok(row))
                queen(row+1);
        }       
}

int main(){
    queen(0);
    cout<<total;
    return 1;
}