圖的生成樹（森林）（克魯斯卡爾Kruskal算法和普里姆Prim算法）、以及並查集的使用

圖的連通性問題：無向圖的連通分量和生成樹，所有頂點均由邊連接在一起，但不存在回路的圖。

設圖 G=(V, E) 是個連通圖，當從圖任一頂點出發遍歷圖G 時，將邊集 E(G) 分成兩個集合 T(G) 和 B(G)。其中 T(G)是遍歷圖時所經過的邊的集合，B(G) 是遍歷圖時未經過的邊的集合。顯然，G1(V, T) 是圖 G 的極小連通子圖，即子圖G1 是連通圖 G 的生成樹。

深度優先生成森林

  右邊的是深度優先生成森林：

連通圖的生成樹不一定是唯一的， 不同的遍歷圖的方法得到不同的生成樹;從不同的頂點出發可得到不同的生成樹。

連通圖本身就是連通分量，其中頂點集+遍歷經過的邊=生成樹。

非連通圖的生成森林不一定是唯一的。

非連通圖各個連通分量的頂點集+遍歷時經過的邊=若干顆生成樹（生成森林）

最小生成樹 
給定一個無向網絡，在該網的所有生成樹中，使得各邊權數之和最小的那棵生成樹稱為該網的最小生成樹。

問題的提出：要在 n 個城市間建立交通網，要考慮的問題如何在保證 n 點連通的前題下最節省經費? 

如何求連通圖的最小生成樹?

構造最小生成樹的算法很多，其中多數算法都利用了一種稱之為 MST 的性質。

MST 性質：設 N = (V, E)  是一個連通網，U 是頂點集 V 的一個非空子集。若邊 (u, v) 是一條具有最小權值的邊，其中u∈U，v∈V-U，則必存在一棵包含邊 (u, v) 的最小生成樹。

方法一：普里姆 (Prim) 算法。

算法思想：

1、設 N=(V, E) 是連通網，TE 是N 上最小生成樹中邊的集合。初始令 U={u0}, (u0屬於V ), TE={ }。

2、在所有 u屬於U, v屬於V-U 的邊 (u, v)屬於E 中，

找一條代價最小的邊 (u0, v0)。

將 (u0, v0) 並入集合 TE，同時 v0 並入 U。

 

3、

重復上述操作直至 U=V 為止，則 T=(V, TE) 為 N 的最

小生成樹。

 

總得來說，普里姆算法就是以樹為單位，找最小的權邊，特點是針對無向圖！只和頂點有關，和邊無關，適用於稠密圖。算法時間復雜度為 O（n^2）

如圖：普里姆算法求最小生成樹

初始令 U={u0}, (u0屬於V ), TE={ }。

   

在所有 u屬於U, v屬於V-U 的邊 (u, v)屬於E 中，找一條代價最小的邊 (u0, v0)。將 (u0, v0) 並入集合 TE，同時 v0 並入 U。

   

重復上述操作直至 U=V 為止，則 T=(V, TE) 為 N 的最 小生成樹。

    

繼續

    

最后，遍歷完

    

Prim算法的實現  

頂點集合如何表示？最小邊如何選擇？一個頂點加入U集合如何表示？如下面的例子：

當U集合中加入一個新頂點時，V-U集合中的頂點到U的最小代價邊可能會更新，k 代表最終選擇的頂點，k=3，代表選擇是v3這個頂點，因為1-3代價是最小的=1

選取了 v3，之后，繼續以最新的樹為單位，來找最小的權值邊，通過看和哪個頂點連接。

k=6，代表選擇是v6這個頂點，因為3-6代價是最小的=4，在所有的和最新的樹鄰接的頂點中，權值最小的邊。

選取 v6之后

繼續以最新的樹為單位，找臨近的頂點，看哪條邊的權值最小，找到6-4這條邊，權值=2

新的樹如圖

繼續以最新的樹為單位，找臨近的頂點，看哪條邊的權值最小，找到3-2這條邊，權值=5

新的樹如圖

繼續以最新的樹為單位，找臨近的頂點，看哪條邊的權值最小，找到2-5這條邊，權值=3

直到所有頂點全部並入生成樹之后，程序結束

 

方法二：克魯斯卡爾 (Kruskal) 算法。

使用了並查集，直接從邊中找到不成環的最小的權邊（最簡單的求最小生成樹的算法），特點：只針對無向圖，包好普里姆算法，都是只針對無向圖。

算法思想：

1、設連通網  N = (V, E )，令最小生成樹初始狀態為只有 n 個頂點而無邊的非連通圖 T=(V, { })，每個頂點自成一個連通分量。

2、 在 E 中選取代價最小的邊，若該邊依附 的頂點落在 T 中不同的連通分量上（即： 不能形成環），則將此邊加入到 T 中；否 則，舍去此邊，選取下一條代價最小的邊。

3、依此類推，直至 T 中所有頂點都在同一連通分量上為止。

最小生成樹可能不惟一（包括普里姆算法都是一樣的道理）

把所有的邊按照權值升序排列，從最小邊開始（不能形成回路），選取，組成最小生成樹。直到所有的邊並入則結束（不是頂點！） 克魯斯卡爾算法主要在排序邊的權值序列的時候最費時間，他的算法時間復雜度和排序算法有關，而排序算法的時間復雜度和圖的邊 e 有關系，和頂點 v 沒有關系。故適用於稀疏圖。（而普里姆算法適合稠密圖）

下面是圖解步驟：

按照升序，找出權值的排序序列：1 2 3 4 5 5 5 6 6 6

注意選取權值最小的邊的時候，不要形成回路

按照權值的升序排列的順序查找選取合適的邊

繼續，按照權值的升序排列的順序查找選取合適的邊

注意選取5的時候，避免環的生成，即可

直到所有的邊都並入即可。

那么在克魯斯卡爾算法里，通過找合適的邊，該如何避免形成回路呢？換句話說，如何判斷是否形成了回路？

使用並查集可以判斷是否形成了回路，kruskal算法用到了一種貪心策略，首先要把邊集數組以邊的權值從小到大排序，然后一條邊一條邊的查找，如果邊的兩個端點不在一個集合內，則將此邊添加到正在生長的樹林中，並合並兩個端點所在的集合，直到最小生成樹已生成完畢。

並查集：

是一種樹型的數據結構，用於處理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合並及查詢問題。常常在使用中以森林來表示。集就是讓每個元素構成一個單元素的集合，也就是按一定順序將屬於同一組的元素所在的集合合並。

並查集是一種非常簡單的數據結構，它主要涉及兩個基本操作，分別為：

A． 合並兩個不相交集合

B． 判斷兩個元素是否屬於同一個集合

1）合並兩個不相交集合（Union(x,y)）

合並操作很簡單：先設置一個數組Father[x]，在克魯斯卡爾算法里，需要使用雙親存儲結構，表示x的“父親”的編號。那么，合並兩個不相交集合的方法就是，找到其中一個集合最父親的父親（也就是最久遠的祖先），將另外一個集合的最久遠的祖先的父親指向它。

通俗的說，就是把其中一個樹的根，作為另一個樹的根結點的一個孩子結點即可。

上圖為兩個不相交集合，合並后可以看出：Father(b)=Father(g)=f 結點

2）判斷兩個元素是否屬於同一集合（Find_Set(x)），本操作可轉換為尋找兩個元素的最久遠祖先是否相同。可以采用遞歸實現。

並查集的優化問題

尋找祖先時，我們一般采用遞歸查找，但是當元素很多亦或是整棵樹變為一條鏈時，每次Find_Set(x)都是O(n)的復雜度。為了避免這種情況，我們需對路徑進行壓縮，即當我們經過”遞推”找到祖先節點后，”回溯”的時候順便將它的子孫節點都直接指向祖先，這樣以后再次Find_Set(x)時復雜度就變成O(1)了，如下圖所示。可見，路徑壓縮方便了以后的查找。

回到克魯斯卡爾算法，使用並查集來實現判斷回路的生成否

比如從 v1開始（一共是 v1、v2、v3、v4、v5、v6），則開始把 v1-v6作為各個單根樹，以森林來表示，讓每個元素構成一個個的單元素的集合，需要使用數組表示，存儲方式就是雙親存儲結構（方便找到共同的父親）。

每次使用並查集，將后入的邊上的另一個結點作為孩子結點，而沒有加入的結點還是去做為單根的樹：

如圖所示，上圖，該選取權值=5的邊了，此時有兩個樹

   和   

如果選取3-4或者1-4這兩條邊的任意一個，單根樹是不會產生根相同的情形的，而加入的（作為孩子的根），一定會找到共同祖先的，這樣就可以發現回路的存在！ 而選取2-3這條邊的話，在並查集中，就不會查出共同的祖先，也就是沒有環的形成。

通俗的說，就是通過兩個元素所在的結點推出跟結點，若根相同，則為同一個集合，否則不是同一個集合（也就是不形成回路）

 

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