[LeetCode] Combinations 組合項

 

Given two integers n and k, return all possible combinations of k numbers out of 1 ... n.

For example,
If n = 4 and k = 2, a solution is:

[
  [2,4],
  [3,4],
  [2,3],
  [1,2],
  [1,3],
  [1,4],
]

 

這道題讓求1到n共n個數字里k個數的組合數的所有情況，還是要用深度優先搜索DFS來解，根據以往的經驗，像這種要求出所有結果的集合，一般都是用DFS調用遞歸來解。那么我們建立一個保存最終結果的大集合res，還要定義一個保存每一個組合的小集合out，每次放一個數到out里，如果out里數個數到了k個，則把out保存到最終結果中，否則在下一層中繼續調用遞歸。網友u010500263的博客里有一張圖很好的說明了遞歸調用的順序，請點擊這里。根據上面分析，可寫出代碼如下：

 

解法一：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        vector<vector<int>> res;
        vector<int> out;
        helper(n, k, 1, out, res);
        return res;
    }
    void helper(int n, int k, int level, vector<int>& out, vector<vector<int>>& res) {
        if (out.size() == k) {res.push_back(out); return;}
        for (int i = level; i <= n; ++i) {
            out.push_back(i);
            helper(n, k, i + 1, out, res);
            out.pop_back();
        }
    }
};

 

對於n = 5, k = 3, 處理的結果如下：

1 2 3
1 2 4
1 2 5
1 3 4
1 3 5
1 4 5
2 3 4
2 3 5
2 4 5
3 4 5

 

我們再來看一種遞歸的寫法，此解法沒用helper當遞歸函數，而是把本身就當作了遞歸函數，寫起來十分的簡潔，也是非常有趣的一種解法。這個解法用到了一個重要的性質 C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，這應該在我們高中時候學排列組合的時候學過吧，博主也記不清了。總之，翻譯一下就是，在n個數中取k個數的組合項個數，等於在n-1個數中取k-1個數的組合項個數再加上在n-1個數中取k個數的組合項個數之和。這里博主就不證明了，因為我也不會，就直接舉題目中的例子來說明吧：

C(4, 2) = C(3, 1) + C(3, 2)

我們不難寫出 C(3, 1) 的所有情況：[1], [2], [3]，還有 C(3, 2) 的所有情況：[1, 2], [1, 3], [2, 3]。我們發現二者加起來為6，正好是 C(4, 2) 的個數之和。但是我們仔細看會發現，C(3, 2)的所有情況包含在 C(4, 2) 之中，但是 C(3, 1) 的每種情況只有一個數字，而我們需要的結果k=2，其實很好辦，每種情況后面都加上4，於是變成了：[1, 4], [2, 4], [3, 4]，加上C(3, 2) 的所有情況：[1, 2], [1, 3], [2, 3]，正好就得到了 n=4, k=2 的所有情況了。參見代碼如下：

 

解法二：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        if (k > n || k < 0) return {};
        if (k == 0) return {{}};
        vector<vector<int>> res = combine(n - 1, k - 1);
        for (auto &a : res) a.push_back(n);
        for (auto &a : combine(n - 1, k)) res.push_back(a);
        return res;
    }
};

 

我們再來看一種迭代的寫法，也是一種比較巧妙的方法。這里每次先遞增最右邊的數字，存入結果res中，當右邊的數字超過了n，則增加其左邊的數字，然后將當前數組賦值為左邊的數字，再逐個遞增，直到最左邊的數字也超過了n，停止循環。對於n=4, k=2時，遍歷的順序如下所示：

0 0 #initialization 1 0 1 1  1 2 #push_back 1 3 #push_back 1 4 #push_back 1 5 2 5 2 2  2 3 #push_back 2 4 #push_back ... 3 4 #push_back 3 5 4 5 4 4 4 5 5 5 #stop 

 

解法三：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        vector<vector<int>> res;
        vector<int> out(k, 0);
        int i = 0;
        while (i >= 0) {
            ++out[i];
            if (out[i] > n) --i;
            else if (i == k - 1) res.push_back(out);
            else {
                ++i;
                out[i] = out[i - 1];
            }
        }
        return res;
    }
};

 

類似題目：

Combination Sum

Permutations

 

參考資料：

https://leetcode.com/problems/combinations/description/

https://leetcode.com/problems/combinations/discuss/27015/3-ms-Java-Solution

https://leetcode.com/problems/combinations/discuss/27002/Backtracking-Solution-Java

https://leetcode.com/problems/combinations/discuss/26992/Short-Iterative-C++-Answer-8ms

 

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