前言
在算法中，經常需要用到一種與調和級數有關的方法求解，在分析該方法的復雜度時，我們會經常得到\(O(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\ldots+\frac{n}{n})\)的復雜度，然后我們都知道這個式子是等價於\(O(n\log n)\)的。在篩素數、字符串連續重復子串等很多算法中都有用到，用處之廣，性能之優。今天不妨來證明下這個等價式。
\(O(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\ldots+\frac{n}{n})\)~\(O(n\log n)\)
分析
要證明\(O(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\ldots+\frac{n}{n})\)~\(O(n\log n)\)，只需證\(O(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n})\)~\(O(\ln n)\)——式子1.
為了證明式子1，需要證明4個定理：
1. 確界存在定理
2. 單調有界數列必定收斂
3. 數列\(\{(1+\frac{1}{n})^n\}\)單調增加，\(\{(1+\frac{1}{n})^{n+1}\}\)單調減少，兩者收斂於同一極限
4. \(b_n=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n\) 收斂
確界存在定理——實數系連續性定理
描述：非空有上界的數集必有上確界；非空有下界的數集必有下確界。
證明：<a href="http://baike.baidu.com/link?url=NojNWL0qcJWW20mxekU1GcfeD1Tp-0-JtF4oyRio7w9Th-ifVdybvf3PaSzmZKXZywk9mCGnlQ9mkPk-NySvn1b_DUqfs-Boez0kGdtwwgN9cgLyW4xYJfHUVGhdiIHQh3hilNBwuRJxARBOsGkqrSpDfuuEwxa56NjmcEgwrlSiddNVOjmmH6WirfboiLNMPo0a06RFoeFRasTvJSUaPa
" target="_blank">百度百科關於確界存在定理
單調有界數列必定收斂
描述：單調遞增且有上界數列必定收斂，單調遞減且有下界數列必定收斂
證明：
不妨設數列\(\{x_n\}\)單調增加且有上界，根據確界存在定理，由\(\{x_n\}\)構成的數集必有上確界\(\beta\)，滿足：
(1) \(\forall n\in N^+:x_n\leq \beta;\)
(2) \(\forall \epsilon>0,\exists x_{n_0}:x_{n_0}>\beta-\epsilon。\)
取\(N=n_0\)，\(\forall n>N:\beta-\epsilon<x_{n_0}\leq x_n\leq \beta\)，因而\(\{x_n-\beta\}<\epsilon\)，於是得到\(\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=\beta\)
當數列單調遞減且有下界時，同理。
數列\(\{(1+\frac{1}{n})^n\}\)單調增加，\(\{(1+\frac{1}{n})^{n+1}\}\)單調減少，兩者收斂於同一極限
證明：
記\(x_n=\{(1+\frac{1}{n})^n\}\)，\(y_n=\{(1+\frac{1}{n})^{n+1}\}\)，利用平均不等式\(\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}\leq\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\)得到
\(x_n=\{(1+\frac{1}{n})^n\}\cdot1\leq [\frac{n(1+\frac{1}{n})+1}{n+1}]^{n+1}=x_{n+1}\)
\(\frac{1}{y_n}=(\frac{n}{n+1})^{n+1}\cdot 1\leq[\frac{(n+1)\frac{n}{n+1}+1}{n+2}]^{n+2}=\frac{1}{y_{n+1}}\)
這表示\(\{x_n\}\)單調增加，而\(\{y_n\}\)單調減少。又由於\(2=x_1\leq x_n<y_n\leq y_1=4\)，可知數列\(\{x_n\}\)，\(\{y_n\}\)都收斂（單調有界數列必收斂）。
因為\(y_n=x_n(1+\frac{1}{n})\)，所以它們具有相同的極限。習慣上用字母\(e\)來表示這一極限，即\(\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n+1})^n=e\)
\(e=2.718\ 281\ 828\ 459\cdots\)是一個無理數。以\(e\)為底的對數稱為自然對數，通常即為\(\ln x(=\log_ex)\)。
\(b_n=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n\) 收斂
證明：
由上一定理可知，\((1+\frac{1}{n})^n<e<(1+\frac{1}{n})^{n+1}\)，由此得到\(\frac{1}{n+1}<\ln \frac{n+1}{n}<\frac{1}{n}\)。於是有：
\(b_{n+1}-b_n=\frac{1}{n+1}-\ln (n+1)+\ln n=\frac{1}{n+1}-\ln \frac{n+1}{n}<0\)
\(b_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n>\ln \frac{2}{1}+\ln \frac{3}{2}+\ln \frac{4}{3}+\ldots+\ln \frac{n+1}{n}-\ln n=\ln (n+1)-\ln n>0\)
這說明數列\(\{b_n\}\)單調減少有下界，從而收斂。（單調有界數列必收斂）
總結
已證明\(O(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n})\)~\(O(\ln n)\)，因此可知\(O(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\ldots+\frac{n}{n})\)~\(O(n\log n)\)