要點
歸並排序是建立在歸並操作上的一種有效的排序算法，該算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一個非常典型的應用。
將已有序的子序列合並，得到完全有序的序列；即先使每個子序列有序，再使子序列段間有序。若將兩個有序表合並成一個有序表，稱為二路歸並。
歸並排序的基本思想
將待排序序列R[0...n-1]看成是n個長度為1的有序序列，將相鄰的有序表成對歸並，得到n/2個長度為2的有序表；將這些有序序列再次歸並，得到n/4個長度為4的有序序列；如此反復進行下去，最后得到一個長度為n的有序序列。
綜上可知：
歸並排序其實要做兩件事：
（1）“分解”——將序列每次折半划分。
（2）“合並”——將划分后的序列段兩兩合並后排序。
我們先來考慮第二步，如何合並？
在每次合並過程中，都是對兩個有序的序列段進行合並，然后排序。
這兩個有序序列段分別為 R[low, mid] 和 R[mid+1, high]。
先將他們合並到一個局部的暫存數組R2中，帶合並完成后再將R2復制回R中。
為了方便描述，我們稱 R[low, mid] 第一段，R[mid+1, high] 為第二段。
每次從兩個段中取出一個記錄進行關鍵字的比較，將較小者放入R2中。最后將各段中余下的部分直接復制到R2中。
經過這樣的過程，R2已經是一個有序的序列，再將其復制回R中，一次合並排序就完成了。
核心代碼
int i = low; // i是第一段序列的下標
int j = mid + 1; // j是第二段序列的下標
int k = 0; // k是臨時存放合並序列的下標
int[] array2 = new int[high - low + 1]; // array2是臨時合並序列
// 掃描第一段和第二段序列，直到有一個掃描結束
while (i <= mid && j <= high) {
// 判斷第一段和第二段取出的數哪個更小，將其存入合並序列，並繼續向下掃描
if (array[i] <= array[j]) {
array2[k] = array[i];
i++;
k++;
} else {
array2[k] = array[j];
j++;
k++;
}
}
// 若第一段序列還沒掃描完，將其全部復制到合並序列
while (i <= mid) {
array2[k] = array[i];
i++;
k++;
}
// 若第二段序列還沒掃描完，將其全部復制到合並序列
while (j <= high) {
array2[k] = array[j];
j++;
k++;
}
// 將合並序列復制到原始序列中
for (k = 0, i = low; i <= high; i++, k++) {
array[i] = array2[k];
}
}
掌握了合並的方法，接下來，讓我們來了解 如何分解。
在某趟歸並中，設各子表的長度為gap，則歸並前R[0...n-1]中共有n/gap個有序的子表：R[0...gap-1], R[gap...2*gap-1], ... , R[(n/gap)*gap ... n-1]。
調用Merge將相鄰的子表歸並時，必須對表的特殊情況進行特殊處理。
若子表個數為奇數，則最后一個子表無須和其他子表歸並（即本趟處理輪空）：若子表個數為偶數，則要注意到最后一對子表中后一個子表區間的上限為n-1。
核心代碼
int i = 0;
// 歸並gap長度的兩個相鄰子表
for (i = 0; i + 2 * gap - 1 < length; i = i + 2 * gap) {
Merge(array, i, i + gap - 1, i + 2 * gap - 1);
}
// 余下兩個子表，后者長度小於gap
if (i + gap - 1 < length) {
Merge(array, i, i + gap - 1, length - 1);
}
}
public int[] sort( int[] list) {
for ( int gap = 1; gap < list.length; gap = 2 * gap) {
MergePass(list, gap, list.length);
System.out.print("gap = " + gap + ":\t");
this.printAll(list);
}
return list;
}
算法分析
歸並排序算法的性能
| 排序類別 |
排序方法 |
時間復雜度 |
空間復雜度 |
穩定性 |
復雜性 |
||
| 平均情況 |
最壞情況 |
最好情況 |
|||||
| 歸並排序 |
歸並排序 |
O(nlog2n) |
O(nlog2n) |
O(nlog2n) |
O(n) |
穩定 |
較復雜 |
時間復雜度
歸並排序的形式就是一棵二叉樹，它需要遍歷的次數就是二叉樹的深度，而根據完全二叉樹的可以得出它的時間復雜度是O(n*log2n)。
空間復雜度
由前面的算法說明可知，算法處理過程中，需要一個大小為n的臨時存儲空間用以保存合並序列。
算法穩定性
在歸並排序中，相等的元素的順序不會改變，所以它是穩定的算法。
歸並排序和堆排序、快速排序的比較
若從空間復雜度來考慮：首選堆排序，其次是快速排序，最后是歸並排序。
若從穩定性來考慮，應選取歸並排序，因為堆排序和快速排序都是不穩定的。
若從平均情況下的排序速度考慮，應該選擇快速排序。
完整參考代碼
Java版本
2
3 public class MergeSort {
4 public void Merge( int[] array, int low, int mid, int high) {
5 int i = low; // i是第一段序列的下標
6 int j = mid + 1; // j是第二段序列的下標
7 int k = 0; // k是臨時存放合並序列的下標
8 int[] array2 = new int[high - low + 1]; // array2是臨時合並序列
9
10 // 掃描第一段和第二段序列，直到有一個掃描結束
11 while (i <= mid && j <= high) {
12 // 判斷第一段和第二段取出的數哪個更小，將其存入合並序列，並繼續向下掃描
13 if (array[i] <= array[j]) {
14 array2[k] = array[i];
15 i++;
16 k++;
17 } else {
18 array2[k] = array[j];
19 j++;
20 k++;
21 }
22 }
23
24 // 若第一段序列還沒掃描完，將其全部復制到合並序列
25 while (i <= mid) {
26 array2[k] = array[i];
27 i++;
28 k++;
29 }
30
31 // 若第二段序列還沒掃描完，將其全部復制到合並序列
32 while (j <= high) {
33 array2[k] = array[j];
34 j++;
35 k++;
36 }
37
38 // 將合並序列復制到原始序列中
39 for (k = 0, i = low; i <= high; i++, k++) {
40 array[i] = array2[k];
41 }
42 }
43
44 public void MergePass( int[] array, int gap, int length) {
45 int i = 0;
46
47 // 歸並gap長度的兩個相鄰子表
48 for (i = 0; i + 2 * gap - 1 < length; i = i + 2 * gap) {
49 Merge(array, i, i + gap - 1, i + 2 * gap - 1);
50 }
51
52 // 余下兩個子表，后者長度小於gap
53 if (i + gap - 1 < length) {
54 Merge(array, i, i + gap - 1, length - 1);
55 }
56 }
57
58 public int[] sort( int[] list) {
59 for ( int gap = 1; gap < list.length; gap = 2 * gap) {
60 MergePass(list, gap, list.length);
61 System.out.print("gap = " + gap + ":\t");
62 this.printAll(list);
63 }
64 return list;
65 }
66
67 // 打印完整序列
68 public void printAll( int[] list) {
69 for ( int value : list) {
70 System.out.print(value + "\t");
71 }
72 System.out.println();
73 }
74
75 public static void main(String[] args) {
76 int[] array = {
77 9, 1, 5, 3, 4, 2, 6, 8, 7
78 };
79
80 MergeSort merge = new MergeSort();
81 System.out.print("排序前:\t\t");
82 merge.printAll(array);
83 merge.sort(array);
84 System.out.print("排序后:\t\t");
85 merge.printAll(array);
86 }
87 }
運行結果
gap = 1: 1 9 3 5 2 4 6 8 7
gap = 2: 1 3 5 9 2 4 6 8 7
gap = 4: 1 2 3 4 5 6 8 9 7
gap = 8: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
排序后: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
參考資料
《數據結構習題與解析》（B級第3版）
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示例源碼：https://github.com/dunwu/algorithm-notes