騎士走棋盤

問題陳述：

　　騎士游歷(Knight tour)在十八世紀初備受數學家與拼圖迷的注意，究竟它是什么時候被提出已不可考。騎士的走法為國際象棋的走法，類似中國象棋的馬，騎士可以由任意一個位置出發，他如何走完所有的位置？

 

問題解法：

　　騎士的走法，基本上可以用遞歸的方法來解決，但是純粹的遞歸在維度大時相當沒有效率。一個聰明的解法由J.C.Warnsdorff在1823年提出，簡單的說，先將最難的位置走完，接下來的路就是寬廣，騎士所要走的下一步：為下一步再做選擇時，所能走的步數最少的一步。使用這個方法，在不使用遞歸的情況下，可以有較高的幾率找出走法(有時可能也找不到走法)。

 

代碼詳解：

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

int pos[8][8] = {0};

int travel(int, int);

int main()
{
    int i, j, startX, startY;
    printf("Please input a starting point: ");
    scanf("%d%d", &startX, &startY);
    if(travel(startX, startY)) {
        printf("Travel finished\n");
    }else {
        printf("Travel failed\n");
    }
    for(i=0; i<8; i++) {
        for(j=0; j<8; j++) {
            printf("%2d ", pos[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

int travel(int x, int y) {
    int i, j, k, l, m;
    int tmpX, tmpY;
    int count, min, tmp;

    //騎士可走的八個方向(順時針)
    int ktmoveX[8] = {1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};
    int ktmoveY[8] = {-2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2};

    //下一步坐標
    int nextX[8] = {0};
    int nextY[8] = {0};

    //記錄每個方向的出路的個數
    int exists[8] = {0};

    //起始用1標記位置
    i = x;
    j = y;
    pos[i][j] = 1;

    //遍歷棋盤
    for(m=2; m<=64; m++) {
        //初始化八個方向出口個數
        for(l=0; l<8; l++) {
            exists[l] = 0;
        }
        l = 0; //計算可走方向

        //試探八個方向
        for(k=0; k<8; k++) {
            tmpX = i + ktmoveX[k];
            tmpY = j + ktmoveY[k];
            //邊界 跳過
            if(tmpX<0 || tmpY<0 || tmpX>7 || tmpY>7) {
                continue;
            }
            //可走 記錄
            if(pos[tmpX][tmpY] == 0) {
                nextX[l] = tmpX;
                nextY[l] = tmpY;
                l++;    //可走方向加1
            }
        }
        count = l;
        //無路可走 返回
        if(count == 0) {
            return 0;
        //一個方向可走 標記
        }else if(count == 1) {
            min = 0;
        //找出下個位置出路個數
        }else {
            for(l=0; l<count; l++) {
                for(k=0; k<8; k++) {
                    tmpX = nextX[l] + ktmoveX[k];
                    tmpY = nextY[l] + ktmoveY[k];
                    if(tmpX<0 || tmpY<0 || tmpX>7 || tmpY>7) {
                        continue;
                    }
                    if(pos[tmpX][tmpY] == 0) {
                        exists[l]++;
                    }
                }
            }
            //找出下個位置出路最少的方向
            min = 0;
            tmp = exists[0];
            for(l=0; l<count; l++) {
                if(exists[l] < tmp) {
                    tmp = exists[l];
                    min = l;
                }
            }
        }
        //用序號標記走過的位置
        i = nextX[min];
        j = nextY[min];
        pos[i][j] = m;
    }
    return 1;
}

 

測試效果圖：

測試數據：startX = 2, startY = 2

 

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