數字圖像處理- 3.6 銳化空間濾波器

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3.6 銳化空間濾波器

 

銳化處理的主要目的是突出圖像中的突出灰度的過度部分。總的來說，微分算子的響應強度與圖像在該店(應用了算子)的突變程度有關。這樣一來，圖像微分增強了邊緣和其他突變(如噪聲)並削弱了灰度變化緩慢的區域。

 為了說明簡單，主要集中討論一階微分的性質。我們最高興去的微分性質是恆定灰度區域(平坦段)、突變的開頭與結尾(階梯和斜坡突變)及沿着灰度級斜坡處的特性。這些類型的突變可以用來對圖像中的噪聲點、細線與邊緣模型化。

3.6.1 基礎

數字函數（圖像，離散的數字序列）的微分定義條件：

  這里我們首先了解下數學函數的微分，微分可以用不同的術語定義，也有各種方法定義這些差別，然而，對於一階微分任何定義都必須保證以下幾點：(1)在平坦段(灰度不變區域)微分值為零；(2)在灰度階梯或斜坡的起始點處微分值非零；(3)沿着斜坡面微分值非零。任何二階微分的定義也類似：（1）在平坦去微分值必為零；（2）在灰度階梯或斜坡的起始點處微分值非零；（3）沿着斜坡面微分值非零。

  因為我們處理的是數字量，其值是有限的，故最大灰度級的變換也是有限的，變化發生最短距離是在兩相鄰像素之間。對於一元函數f(x)表達一階微分定義是一個差值：

∂f/∂x = f(x+1) − f(x)

二階導數：(∂f/∂x)/∂x = f(x+2) - f(x+1) -f(x+1)+f(x)

相當於：f(x+1)-2f(x)+f(x-1)

這里，為了與對二元圖像函數f(x,y)求微分時的表達式保持一致，使用偏導數符號，對二元函數，我們將沿着兩個空間軸處理偏微分，類似地，用差分定義二階微分：

下圖表明了上述的具體含義。

注意下圖中二階差分的零交叉點（Zero crossing），零交叉點對於邊緣的定位非常有用。

由於圖像邊緣處的一階微分是極值點,圖像邊緣處的二階微分應為零,確定零點的位置要比確定極值點更容易,也更准確"

我們發現交叉點就是邊緣，而一階微分中卻沒有這樣的性質

 

二階微分在增強細節方面比一階微分好得多，這是一個適合銳化圖像的理想特征。

 

3.6.2 基於二階微分的圖像增強--拉普拉斯算子

  這里介紹二階微分在圖像增強處理中的應用。首先定義一個二階微分的離散公式，然后構造一個基於此式的濾波器。我們最關注的是一種各向同性濾波器，這種濾波器的響應與濾波器作用的圖像的突變方向無關。也就是說，各向同性濾波器是旋轉不變的，即將原始圖像旋轉后進行濾波處理給出的結果與先對圖像濾波，然后再旋轉的結果相同。

   處理方法

   最簡單的各向同性微分算子是拉普拉斯算子，一個二元圖像函數f(x,y)的拉普拉斯變換定義為：

                                                  

因為任意階微分都是線型操作，所以拉普拉斯變換也是一個線性操作。

考慮到有兩個變量，因此，我們在x，y方向上對二階偏微分采用下倆定義：

                                                   

                                                

因此二維拉維拉斯數字實現可由這兩個分量相加得到：

                                                ，這里關注系數矩陣即掩膜：

這個矩陣給出了在90度方向上旋轉的各向同性結果，如果向得到45度方向上旋轉的各向同性結果則，將中心對角點標為1，中心點為-8即可。

   由於拉普拉斯是一種微分算子，它的應用強調圖像中灰度的突變及降低灰度慢變化的區域。將原始圖像和拉普拉斯圖像疊加在一起的簡單方法可以保護拉普拉斯銳化處理的效果，同時又能復原背景信息。我們使用拉普拉斯變換對圖像增強的基本方法可表示為下式：

                                                          

 

含有對角線信息的拉普拉斯算子

 

3.6.3 非銳化掩蔽和高提升濾波

在印刷和出版界用了多年的圖像銳化處理過程，從原圖中減去一副非銳化（平滑后的）圖像，達到銳化的目的。

步驟有以下幾步：

1. 模糊源圖像
2. 從原圖像中減去模糊圖像（產生的差值圖像稱為模板）
3. 將模板加到原圖像上。

令 表示模糊圖像，那么首先我們得到模板：

然后在原圖像上加上該模板的一個權重部分：

上式中，當k=1時，我們得到上面定義的非銳化掩蔽，當k>1時，該處理稱為高提升濾波，當k<1時，則不強調非銳化模板的貢獻。

需要注意的是，如果k足夠大的時候，負值將導致邊緣周圍有暗的暈輪，會產生不好的效果。

3.6.4 使用一階微分對（非線性）圖像銳化—梯度

一個函數f在f(x,y)的梯度是定義為二維列向量（這是一個矢量，給定了一個方向）：

然后其幅度值為，其中M(x,y)是與原圖像大小相同的圖像，該圖像通常稱為梯度圖像。后面的表達式仍保留了灰度的變換，但丟失掉了其各向同性。

下面介紹兩種算子：一階Roberts交叉梯度算子和二階Soble算子：

在3×3的區域圖像中，應該是gx = (z8−z5) gy = (z9−z6),但是Roberts進行了改良，提出了Roberts算子，gx=(z9−z5)，gy=(z8−z6)；由於偶數模板沒有對稱中心，所以與之前的卷積模板定義中，運算結果等會中心點位置值不能對應， 所以使用奇數的模板，例如3 * 3 的Soble算子，gx=(z7+2z8+z9)−(z1+2z2+z3)，gy=(z3+2z6+z9)−(z1+2z4+z7)。

使用梯度進行邊緣增強，可以用以突出灰度圖像中看不見的小斑點，在下面的例子中甚至可以去除灰度不變或變換緩慢的圖案陰影。

3.7 混合空間增強法

本書所提供例子的策略是：用Laplace突出圖像中的小細節，然后使用梯度法突出邊緣。平滑過得梯度圖像用於掩蔽Laplace圖像，最后使用灰度變換來增大圖像的灰度動態范圍。其中降低噪聲可以使用中值濾波器或者使用原圖像梯度操作的平滑形式形成的一個模板。

圖像請直接參考Digital Image Processing （3^rd Edition）Page 192。

3.8 使用模糊技術進行灰度變換和空間變換

3.8.1 引言

隸屬度函數μ(z)：用以描述一個元素是否屬於集合的模糊程度，若是一個階躍函數，可以認為是一個我們所了解的"干脆的"集合，若是一個分段函數，則可以看做一個模糊集合：

3.8.2模糊集合論原理

模糊集合是一個有z值和（賦予z成員等級的）相應隸屬度函數組成的序對，即

 

A={z,μA(z)|z∈Z}

 

其中隸屬度函數是關鍵，表明了元素z到集合的一種對應關系。如果隸屬度函數僅有0,1兩個值，那么模糊集合退化為"干脆的"集合。下面這張圖展示了模糊集合間的一些關系：

有一些常用的隸屬度函數，如三角形、梯形、∑型、S型、種型、截尾高斯型等，之后用到了會另作介紹。

3.8.3 模糊集合的應用（略）

3.8.4 使用模糊集合進行灰度變換

對於一副灰度圖像，描述它的某個區域"暗的"、"灰的"、"亮的"都是利用模糊的概念，那么我們將給予這三種情況定義三種模糊集合：

那么對於任何輸入z0，輸出v0為

從書中給予的例子中來看，圖像的細節部分得到了比較好的保留，但代價是計算量大大增加。

 

 

 

寫在最后：既然是為了達到銳化的目的，就是保留圖像固有的邊緣特性,那么在圖像還原（插值）的操作中，這些濾波器仍然可以使用。而且能夠保持原有圖像的邊緣特點。

1，直接使用可以保留邊緣特性的mask進行插值。

2.利用銳化用使用的邊緣檢測算法對邊緣求解，然后分別處理邊緣區域和非邊緣區域。