(數論)數的計算

題目描述  Description

我們要求找出具有下列性質數的個數(包含輸入的自然數n):

先輸入一個自然數n(n<=1000),然后對此自然數按照如下方法進行處理:

1.          不作任何處理;

2.          在它的左邊加上一個自然數,但該自然數不能超過原數的一半;

3.          加上數后,繼續按此規則進行處理,直到不能再加自然數為止.

輸入描述  Input Description

一個數n

輸出描述  Output Description

滿足條件的數的個數

樣例輸入  Sample Input

6

樣例輸出  Sample Output

6

數據范圍及提示  Data Size & Hint

6個數分別是：

6

16

26

126

36

136

分析：

    1. 本題難度看似不大，但如果用遞歸來做的話耗時非常大，因為需要重復計算的數據量太大了。當然我們也可以采取一邊遞歸一邊儲存的方法，但計算量也還是不小，再進一步思考，實際上就是可以用如下的遞推法來做；
    2. 例如要求f(6)，經過分析，我們知道：f(6)=f(1)+f(2)+f(3)+1，也就是說，f(6)的答案數量是在它之前可以取的所有自然數的答案數量之和（6之前可以取1，2，3三個自然數），最后加1是指數字6本身也是一個答案；
    3. 所以，我們可以知道f(n)=f(1)+f(2)+......f(trunc(n/2))+1；
    4. 因此，要求f(n)，我們只需用上述公式編一個遞推過程，把f(2)到f(n)全部求出即可，對於f(1000)也不超過1秒就能得到結果。
    第二種算法：
    1. 對於f(7)=f(6)是顯而易見的，也即f(2n+1)=f(2n)。那么，f(8)和f(7)之間有什么關系呢？
    2. 分析可知：f(8)和f(7)的差別是，f(8)除了包含f(7)的所有情況外，還要多加上f(4)，即：f(8)=f(7)+f(4)。因此可得：f(2n)=f(2n-1)+f(n)。只需據此編一個遞歸小過程或者用遞推方法即可。

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int i,n,ans,sum[1001];
    sum[0] = 0,sum [1] = 1;
    cin>>n;
    for(i = 2 ; i <= n ; i++)
    {
        ans = sum[i/2] + 1;
        sum [i] = sum[i-1] + ans;
    }
    cout<<sum[n] - sum[n-1]<<endl;
    return 0;
}