[譯]最長回文子串(Longest Palindromic Substring) Part I

[譯]最長回文子串(Longest Palindromic Substring) Part I

英文原文鏈接在（http://leetcode.com/2011/11/longest-palindromic-substring-part-i.html）

 

+BIT祝威+悄悄在此留下版了個權的信息說：

問題：給定字符串S，求S中的最長回文子串。

這個有趣的問題常常在面試中出現。為什么呢？因為解決辦法有很多種。單單我知道的就有5種。你能解決這個問題嗎？來Online Judge試試看吧！

提示

首先你要知道回文是什么。回文就是從左右兩邊讀都一樣的字符串。例如”aba”是回文，”abc”不是回文。

一個常見的錯誤

有人很快會想到這樣一個方法。這個方法有缺陷，不過很容易修正。

翻轉S成為S’。查找S和S’最長公共子串，就是S的最長回文子串。

 

看起來有道理的樣子。用實例檢驗下。

例如S=”caba”，S’=”abac”。

S和S’的最長公共子串是”aba”，確實是S的最長回文子串。

 

再看個例子。

S=”abacdfgdcaba”，S’=”abacdgfdcaba”。

S和S’的最長公共子串是”abacd”，不過很明顯這不是回文。

 

暴力窮舉法O(N³)

最簡單的就是暴力窮舉(Brute Force)對每個start和end位置的子串進行檢測，判斷其是否回文。顯然有C(N,2)（組合）個子串。檢測每個子串都需要O(N)的時間，所以此方法的時間復雜度為O(N³)。

動態規划法O(N²)時間O(N²)空間

我們可以用動態規划(Dynamic Programming即DP)法對暴力窮舉法進行改進。記住，訣竅就是避免重復計算（即重復檢測同一子串）。考慮這個例子”ababa”。如果我們已經檢測過”bab”是回文，那么只需判斷一下最左右的兩個字符（即兩個a）是否相同即可判定”ababa”是否回文了。

總結起來就是：

定義二維數組P[i,j]用以表示Si…Sj是回文（true）或不是回文（false）

那么可知P[i,j] = (P[i + 1, j - 1] && Si ==Sj)

初始條件是：P[i, i]=true，P[i, i + 1] = (S_i == S_i+1)

這個DP法的思路就是，首先可以知道單個字符和兩個相鄰字符是否回文，然后檢測連續三個字符是否回文，然后四個。。。

此算法時間復雜度O(N²)，空間復雜度O(N²)。偽代碼如下。

string longestPalindromeDP(string s) {
  int n = s.length();
  int longestBegin = 0;
  int maxLen = 1;
  bool table[1000][1000] = {false};
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    table[i][i] = true;
  }
  for (int i = 0; i < n-1; i++) {
    if (s[i] == s[i+1]) {
      table[i][i+1] = true;
      longestBegin = i;
      maxLen = 2;
    }
  }
  for (int len = 3; len <= n; len++) {
    for (int i = 0; i < n-len+1; i++) {
      int j = i+len-1;
      if (s[i] == s[j] && table[i+1][j-1]) {
        table[i][j] = true;
        longestBegin = i;
        maxLen = len;
      }
    }
  }
  return s.substr(longestBegin, maxLen);
}

 

提問：空間復雜度還能再改進嗎？

更簡單的算法O(N²)時間O(1)空間

下面介紹一個O(N²)時間O(1)空間的算法。

回文的特點，就是中心對稱。對於有N個字符的字符串S，只有2N-1個中心。

為何是2N-1？因為兩個字符之間的空檔也可以是一個中心。例如”abba”的兩個b中間就是一個中心。

圍繞一個中心檢測回文需要O(N)時間，所以總的時間復雜度是O(N²)。

string expandAroundCenter(string s, int c1, int c2) {
  int l = c1, r = c2;
  int n = s.length();
  while (l >= 0 && r <= n-1 && s[l] == s[r]) {
    l--;
    r++;
  }
  return s.substr(l+1, r-l-1);
}
 
string longestPalindromeSimple(string s) {
  int n = s.length();
  if (n == 0) return "";
  string longest = s.substr(0, 1);  // a single char itself is a palindrome
  for (int i = 0; i < n-1; i++) {
    string p1 = expandAroundCenter(s, i, i);
    if (p1.length() > longest.length())
      longest = p1;
 
    string p2 = expandAroundCenter(s, i, i+1);
    if (p2.length() > longest.length())
      longest = p2;
  }
  return longest;
}

 

+BIT祝威+悄悄在此留下版了個權的信息說：

PS：“中心檢測法”是我胡謅的名字。

提問O(N)

是否存在O(N)時間的算法？當然有！不過理解起來有點費勁，我們下回分解。