前言：在RSA誕生之前
RSA算法是最重要算法之一
它是計算機通信安全的基石，安全可靠
只要有計算機網絡的地方，就有RSA算法
在它誕生之前，即1976年以前，加解密信息使用同一種規則
- 甲方選擇某一種加密規則，對信息進行加密；
- 乙方使用同一種規則，對信息進行解密。
雖然理論上，只要加解密“規則”（即“密鑰”）足夠復雜，這種方式也可安全的傳遞信息
但這種方法最大的弱點就是，密鑰在傳遞的過程中易被泄露
這種加密和解密使用同樣規則的方法，被稱為“對稱加密算法”
RSA算法
倘若在加解密信息的過程中，能讓加密密鑰（公鑰）與解密密鑰（私鑰）不同，即
- 甲要傳密信給乙，乙先根據某種算法得出本次與甲通信的公鑰與私鑰；
- 乙將公鑰傳給甲（公鑰可以讓任何人知道，即使泄露也沒有任何關系）；
- 甲使用乙傳給的公鑰加密要發送的信息原文m，發送給乙密文c；
- 乙使用自己的私鑰解密密文c，得到信息原文m .
就可以很好的克服對稱加密算法的弱點，這種新的加密模式被稱為“非對稱加密算法”
可以觀察到，從始至終，私鑰一直都在信息接收方乙處
只要乙自己不泄露出去，私鑰就沒有泄露的可能
1977年，三位數學家Rivest、Shamir和Adleman設計了一種算法，可以實現非對稱加密
這種算法用他們三個人的名字首字母命名，叫做RSA算法
RSA算法非常可靠，密鑰越長，它就越難破解
至於難以破解的原理（安全性），在本文介紹完該算法后會有簡要說明
下面，先介紹一些基本概念與數學定理
質數與互質數
這是小學數學的概念
- 一個大於1的自然數，除了1和它本身外，不能被其他自然數整除（除0以外）的數稱之為質數（素數）；否則稱為合數。
例如，15＝3×5，所以15不是素數
13除了等於13×1以外，不能表示為其它任何兩個整數的乘積，所以13是一個素數
1不是質數，也不是合數
- 公約數只有1的兩個數，叫做互質數。
判斷或選取互質數的方法/定理有很多，如下所示
- 任意兩個質數一定構成互質數（如3與11、53與61）；
- 大數是質數的兩個數一定是互質數（如97與88）；
- 一個質數如果不能整除另一個合數，這兩個數為互質數；
即一個數是質數，另一個數只要不是前者的倍數，兩者就構成互質關系（如3與10、5與26）； - 1和任何一個自然數在一起都是互質數；
- 相鄰的兩個自然數是互質數（如15與16）；
- 相鄰的兩個奇數是互質數（如49與51）。
在RSA算法中，我們通常使用以上第1條與第2條
即選取兩個本身都是質數的數作為互質數
而以上第2條定理對於計算歐拉函數值有着積極作用
模運算
模運算的定義如下
- 讓m去被n整除，只取所得的余數作為結果，就叫做模運算。
例如，10 mod 3 = 1 、26 mod 6 = 2 、28 mod 2 = 0
同余
“≡”是數論中表示同余的符號
同余的定義如下
- 給定一個正整數m，如果兩個整數a和b滿足a-b能被m整除，即(a-b)modm=0，
那么就稱整數a與b對模m同余，記作a≡b(modm)，同時可成立amodm=b
再次提醒注意，同余與模運算是不同的
a≡b(modm)僅可推出b=amodm
歐拉函數
歐拉函數本身需要一系列復雜推導，本部分僅介紹對認識RSA算法有幫助的部分
- 任意給定正整數n，計算在小於等於n的正整數之中，有多少個與n構成互質關系？
計算這個值的方法就叫做歐拉函數，以φ(n)表示.
例如，在1到8之中，與8形成互質關系的是1、3、5、7，所以φ(n)=4
在RSA算法中，我們需要明白歐拉函數對以下定理成立
- 如果n可以分解成兩個互質的整數之積，即n=p×q，則有：φ(n)=φ(pq)=φ(p)φ(q);
- 根據“大數是質數的兩個數一定是互質數”可以知道：
一個數如果是質數，則小於它的所有正整數與它都是互質數；
所以如果一個數p是質數，則有：φ(p)=p-1
由上易得，若我們知道一個數n可以分解為兩個質數p和q的乘積，則有
φ(n)=(p-1)(q-1)
歐拉定理與模反元素
歐拉函數的用處，在於歐拉定理
“歐拉定理”指的是
- 如果兩個正整數a和n互質，則n的歐拉函數φ(n)可以讓下面的等式成立：
aφ(n)≡1(modn)
也就是說，a的φ(n)次方被n除的余數為1
模反元素的推導過程如下
- 根據歐拉定理，有：
aφ(n)=a×aφ(n)−1≡1(modn)
令b=aφ(n)-1，得：
ab≡1(modn)
b就是a的模反元素
意即，如果兩個正整數a和n互質，那么一定可以找到整數b
使得ab-1被n整除，或者說ab被n除的余數是1
真實的例子
根據以上介紹的定義和數學知識
先來看一個真實的例子加深印象
假設甲要發送一串秘密數字m=65給乙
乙發送了一個公鑰(n,e)=(3233,17)給甲
甲根據以下公式及公鑰對密文m加密成c
me≡c(modn)
代入得
c=memodn=6517mod3233=2790
甲將使用公鑰加密的密文c=2790發送給乙
乙收到c=2790的密文后，使用私鑰(n,d)=(3233,2753)根據以下公式進行解密
cd=m(modn)
代入得
m=cdmodn=27902753mod3233=65
乙使用與公鑰不同的私鑰成功計算出密文m，發現了嗎？
從始至終，用來解密的私鑰(n,d)=(3233,2753)一直都在乙處，從未泄露
乙給甲的僅僅是用來加密的公鑰(3233,17)
這個公鑰並不能用來解密，即使被他人截獲，也沒有任何泄密的風險
那么，乙是如何計算出給甲的公鑰(3233,17)和私鑰(3233,2753)的呢？
計算密鑰
根據以上“真實的例子”
看看乙是如何計算密鑰（公鑰和私鑰）的
- 隨機選擇兩個不相等的質數p和q（乙選擇了61和53）
- 計算p和q的乘積n=p×q=61×53=3233
- 根據本文“歐拉函數”介紹過的公式
φ(n)=(p-1)(q-1)
代入計算n的歐拉函數值
φ(3233)=(61-1)×(53-1)=60×52=3120 - 隨機選擇一個整數e，條件是1<e<φ(n)，且e與φ(n)互質
乙就在1到3120之間，隨機選擇了17 - 因為e與φ(n)互質，根據求模反元素的公式計算e，對於e的模反元素d有：
ed≡1(modφ(n))
這個式子等價於
(ed-1)/φ(n)=k（k為任意正整數）
即
ed-kφ(n)=1，代入數據得：
17d-3120k=1
實質上就是對以上這個二元一次方程求解
得到一組解為：(d,k)=(2753,-15) - 將n和e封裝成公鑰，n和d封裝成私鑰
n=3233，e=17，d=2753
所以公鑰就是(3233,17)，私鑰就是(3233,2753)
其中，n的長度就是密鑰長度，3233寫成二進制是110010100001
一共有12位，所以這個密鑰就是12位
實際應用中，RSA密鑰一般是1024位，重要場合則為2048位
密鑰組成與加解密公式
| 公鑰KU | n：質數p和質數q的乘積（p和q必須保密） e：與(p-1)×(q-1)互質 |
| 私鑰KR | n：同公鑰n d：e-1(mod(p-1)(q-1)) |
| 加密 | c=memodn |
| 解密 | m=cdmodn |
安全性
根據以上實例，也許會有疑問
公鑰中已包含n=3233，我將其因式分解回n=3233=61×53
再根據乙計算密鑰的流程，不就可以根據公鑰得出私鑰了
事實上，RSA的安全性就是源自你沒辦法輕易的對大整數“因式分解”
上面的例子，密鑰長度是12位
因為這只是個示例，所以密鑰長度實在是太短了
你可以將示例中的n作因式分解，但是你沒法對下面這個整數進行因數分解
12301866845301177551304949
58384962720772853569595334
79219732245215172640050726
36575187452021997864693899
56474942774063845925192557
32630345373154826850791702
61221429134616704292143116
02221240479274737794080665
351419597459856902143413
它等於這樣兩個質數的乘積：
84821269081770479498371376
85689124313889828837938780
02287614711652531743087737
814467999489
79962795263227915816434308
76426760322838157396665112
79233373417143396810270092
798736308917
事實上，這大概是人類已經分解的最大整數（232個十進制位，768個二進制位）
對極大整數做因數分解的難度決定了RSA算法的可靠性
實際應用中，RSA密鑰一般是1024位（安全），重要場合則為2048位（極其安全）
一點感想
明天早上考大學生涯最后一門課程《網絡安全》
其中重點中的重點便是RSA算法
課本講得很隨意，還是得參考一些資料
包括阮一峰先生的兩篇文章《RSA算法原理（一）》、《RSA算法原理（二）》
和一些其它資料，如《用實例給新手講解RSA加密算法》
讀懂並整理加入了一些自己的想法，完成本文並共享之
就當學生考試生涯結束前的一點紀念吧
若有紕誤或不足，歡迎您留言指正