RSA算法詳解

目錄

• RSA算法流程
• 示例

測試產品的時候，對簽名跟認證很是熟悉。但是對RSA的原理，以及秘鑰的關系還是有原理性方面的欠缺。
本文梳理下RSA的加解密流程，以及秘鑰的對應關系
關於RSA的認證跟加密的應用，采用如下的方式
認證：私鑰簽名，公鑰認證
加密：公鑰加密，私鑰解密

RSA算法流程

RSA算法的的原理簡單來說就是將一個很大的質數M，很難分解為兩個質數a,b,並且a*b=M

詳解請參照：
http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa_algorithm_part_two.html

• 生成秘鑰

  1. 選擇兩個不相等的質數p,q
  2. 計算p,q的乘積n
  3. 計算n的歐拉函數φ(n)=(p-1)*(q-1),計算出來的值就是不大於n且與n互質的整數個數
  4. 選擇一個與φ(n)互質的整數e，且1<e<φ(n)
  5. 計算e對於φ(n)的模反元素d，計算公式d*e≡1(mod(n))。
  6. 公鑰(n,e),私鑰(n,d)。
  7. 銷毀p，q

• 加解密

  • 加密
    • 發送方向接收方發送明文信息m，發送方使用公鑰(n,e)依照如下公式加密：
      m^e=c(mod n)
      m必須是整數，且小於n。根據上面的公式可以算出密文C
  • 解密
    • 接收方獲取密文c，使用自己的私鑰(n,d)依照如下公式解密
      c^d=m(mod n)
      c,d,n已知，可以算出明文m

從上面的秘鑰生成流程中，我們可以發現
如果p,q都銷毀了，很難通過公鑰(n,e)獲取私鑰(n,d).反之亦然。以為公式中的φ(n)=(p-1)(q-1),通過n很難得到p，q是本算法的基礎
但是通常我們使用的tool生成的私鑰中，包含了公鑰信息。所以可以通過私鑰獲取公鑰

示例

　　1. 隨機選擇兩個不相等的質數47和59
　　2. 二者的乘積為43×57=2773，2773轉化為二進制為1010,1101,0101，長度為12位，所以密鑰的長度為12位
　　3. 根據歐拉函數公式φ(n)=n(1-1/p)(1-1/q)計算，φ(2773)= 2773×(1-1/47)(1-1/59)=(47-1)(59-1)=2668
　　4. 隨機選擇一個整數e=63，2668>63>1，並且63與2668互質
　　5. 計算63對於2668的模反元素d，根據公式ed≡1(mod φ(n))，有63d-1=2668k，由歐幾里得擴展公式計算d=847
　　6. 公鑰(n,e)=(2773,63)，私鑰(n,d)=(2773,847)

• 加密
  根據上面計算出的公鑰(n,e)=(2773,63)，假如m=244，根據公式m^e=c(mod n)，可計算出密文c=465
• 解密
  根據上面計算出的私鑰(n,d)=(2773,847)，已知c=465，根據公式c^d=m(mod n)，可計算出明文m=244