BSGS算法_Baby steps giant steps算法（無擴展）詳解

Baby Steps-Varsity

Giant Step-Astronauts(May'n・椎名慶治)

閱讀時可以聽聽這兩首歌，加深對這個算法的理解。（Baby steps少女時代翻唱過，這個原唱反而不是很有名……Giant Step就比較碉，是一個假面騎士片的插曲，由超碉的May'n和一個人建立的臨時組合唱的，怕不怕）

 

這個主要是用來解決這個題：

A^x=B(mod C)(C是質數)，都是整數，已知A、B、C求x。

我在網上看了好多介紹，覺得他們寫得都不夠碉，我看不懂…於是我也來寫一發。

先把x=i*m+j，其中m=ceil(sqrt(C))，（ceil是向上取整）。

這樣原式就變為A^(i*m+j)=B(mod C)，

再變為A^j=B*A^(-m*i) (mod C)，

先循環j=0~(C-1)，把（A^j,j)加入hash表中，這個就是Baby Steps（現在可以播放Baby Steps-Varsity了）。

下面我們要做的是枚舉等號右邊，從hash表中找看看有沒有，有的話就得到了一組i j，x=i*m+j，得到的這個就是正確解。

所以，接下來要解決的就是枚舉B*A^(-m*i) (mod C)這一步（這就是Giant Step，快放Giant Step-Astronauts(May'n・椎名慶治)）。

A^(-m*i)相當於1/(A^(m*i))，里面有除法，在mod里不能直接用除法，這時候我們就要求逆元。

/*百度百科：

若ax≡1 mod f, 則稱a關於模f的乘法逆元為x。也可表示為ax≡1(mod f)。

當a與f互素時，a關於模f的乘法逆元有唯一解。如果不互素，則無解。如果f為素數，則從1到f-1的任意數都與f互素，即在1到f-1之間都恰好有一個關於模f的乘法逆元。

*/

 

然后我們用超碉的 exgcd求逆元，exgcd（擴展歐幾里德算法）就是在求AB的最大公約數z的同時，求出整數x和y，使xA+yB=z。算法實現就是gcd加幾個語句。

然后我們再來看一下exgcd怎么求逆元：

對xA+yB=z，

變成這樣xA = z - yB，取B=C（C就是我們要mod的那個）

推導出 xA % C = z %C

只要  z%C==1 時,就可以求出A的逆元x

但用exgcd求完，x可能是負數，還需要這樣一下：x=(x%C+C)%C

//--exgcd介紹完畢--

再看我們的題目，

exgcd(A^(m*i) , C)=z，當C是質數的時候z肯定為1，這樣exgcd求得的x就是逆元了。

因為x就是A^(m*i)的逆元，P/(A^(m*i))=P*x，所以

B*A^(-m*i) = B/(A^(m*i)) = B*x(mod C)

這樣我們的式子A^j=B*A^(-m*i) (mod C)的等號右邊就有了，就是B*x，就問你怕不怕！

枚舉i，求出右邊在hash里找，找到了就返回，無敵！

例題：

http://poj.org/problem?id=2417

代碼：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
#define ll __int64
#define usint unsigned int
#define RE  freopen("1.in","r",stdin)

class hash {
public:
    hash() {
        memset(a,0xff,sizeof(a));
    }
    int locate(ll x) {
        ll l=x%MOD;
        while(a[l]!=x&&a[l]!=-1) l=(l+1)%MOD;
        return l;
    }
    void insert(ll x,ll va) {
        ll l=locate(x);
        if(a[l]==-1) {
            a[l]=x;
            v[l]=va;
        }
    }
    ll get(ll x) {
        ll l=locate(x);
        return a[l]==x?v[l]:-1;
    }
    void clear() {
        memset(a,0xff,sizeof(a));
    }
private:
    static const ll MOD=100007;
    ll a[MOD+100],v[MOD+100];
} S;

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
    ll t,ret;
    if (!b) {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ret=exgcd(b,a%b,x,y);
    t=x,x=y,y=t-a/b*y;
    return ret;
}

int main() {///A^x=B(modC)    A^j=B*A^(-m*i)(mod C)
    ll C,A,B;
    ll m,i,t,D,ans,x,y;
    while(scanf("%lld%lld%lld",&C,&A,&B)!=EOF) {
        S.clear();
        m=ceil(sqrt((double)C));
        t=1;
        for(i=0; i<m; i++) { /**One, two, baby steps.Three, four, baby steps.Five, six, baby steps.**/
            S.insert(t,i);
            t=t*A%C;
        }
        D=1;///此時t=A^m
        ans=-1;
        for(i=0; i<m; i++) { /**一歩 Giant Step , 君にとってLittle だとしても**/
            exgcd(D,C,x,y);///exgcd求逆元，得到x=D^(-i*m)
            x=((x*B)%C+C)%C;///B*x=B*D^(-i*m)
            y=S.get(x);
            //printf("%lld,%lld\n",x,y);
            if(y!=-1) {
                ans=i*m+y;
                break;
            }
            D=(D*t)%C;///D=t^i,(t=A^m)
        }
        if(ans==-1) printf("no solution\n");
        else printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}