學習數學真是一件賽艇的事.
BSGS名字聽起來非常有意思,力拔山兮氣蓋世,北上廣深,小步大步...算法其實更有意思,它是用來求解一個方程的
A^x ≡ B (mod P)
是不是特別眼熟,有幾個式子長的特別像,先觀察一下:
一:快速冪: 求A^B mod P的值
二:乘法逆元 A*x ≡ 1 (mod P)
或者 A*x ≡ B (mod P)
三:歐拉定理 A^φ(P) ≡ 1 (mod P) (A,P互質)
四:費馬小定理 A^(P-1) ≡ 1 (mod P) (P是質數)
先說下這四者關系:快速冪可以快速求后三個,費馬小定理是歐拉定理的特殊情況,逆元可以通過費馬小定理和快速冪解
可如果有這樣的一個式子:
A^x ≡ B (mod P) 我們先假設A,P互質
好像和這四個式子都很像,所以呢?所以呢?
當年我們證明費馬小定理的時候發現這個x的范圍是在[0,p-1]之間
那么我們就可以枚舉x從0到p-1,復雜度為O(P);
應該能拿上30分
接下來就是一波騷操作:我們令 m = ⌈ √P ⌉ ,然后就可以設 x = i*m+j ,其中i=x/m ,j=x%m,把x代入原來的式子可以得到 A ^ ( i*m+j ) ≡ B ( mod P ) 兩邊乘上一個 A^(-i*m),就可以得到 A ^ j ≡ B * A ^ ( -i*m ) ( mod P )
所以呢?
所以就可以求了啊
我們只要枚舉左邊的j,把左邊的答案和j存起來 left_ans [ j ] = A ^ j % P (可是存不下怎么辦,哈希蛤一下就存下了)然后再枚舉右邊的 i,計算右邊的值,看看我們右邊的值是否在數組里出現過,如果出現過那么我們通過i和j找到的 i*m+j 就是一個答案了
然后就會發現復雜度被我們開了一個方
冷靜分析:
這個算法先枚舉j需要√P的時間,再枚舉i需要√P的時間,不過枚舉i是要算下逆元需要log2(P)的時間,看起來復雜度=O(√P+√P*log2(P))=O(√P*log2(P)), 不過我們再看看右邊的式子: B * A ^ ( -i*m ) mod P = B * A^i * A^(-m) mod P = A * B * A^(i-1) * A^( -m ) mod P.然后我們就得到右邊的遞推式,只要先求出 A^(-m) % p 就可以O(1)計算右邊的式子了,其中A^(-m)%P=A^(P-1-m)%P,因為費馬小定理...,所以復雜度被我們降到了O(√P+log2(P)+√P)=O(√P)
灼熱分析:
算法的思想其實就是分塊,把x分成√P*√P的塊,會到設x的式子,x=i*m+j,我們先Baby_Step枚舉小的j,再Giant_Step枚舉大的i,名字聽起來很形象哈哈哈哈哈哈.因為先枚舉小的,后枚舉大的,所以當出現i滿足條件時,可以保證此時答案是最小的正整數解,這時直接return i*m+j
科學分析:
哈希好用吶~之前懶得用哈希,總覺得用STL的map能省很多事,然后就很尷尬的調了兩天...一直TLE,最后絕望的手寫了哈希表,然后居然就p+的A掉了,千萬別用map,千萬別用map,千萬別用map,STL里面的玄學操作看起來很好用,我們最好還是乖乖學一學正常操作,老老實實手寫哈希....
然后看看代碼
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #include<cmath> 5 using namespace std; 6 #define ll long long 7 const int mod=1048573; 8 int hcnt=0,head[mod+10]; 9 struct Haha{ 10 int val,id,next; 11 }hash[mod+10]; 12 void insert(int x,int pos){ 13 int k=x%mod; 14 hash[++hcnt].val=x; 15 hash[hcnt].id=pos; 16 hash[hcnt].next=head[k]; 17 head[k]=hcnt; 18 } 19 int find(int x){ 20 int k=x%mod; 21 for(int i=head[k];i;i=hash[i].next){ 22 if(hash[i].val==x) return hash[i].id; 23 } 24 return -1; 25 } 26 ll ksm(int a,int b,int p){ 27 int x=a; 28 ll ret=1; 29 if(b<0) return -1; 30 while(b){ 31 if(b&1) ret=1ll*(ret*x)%p; 32 b>>=1; 33 x=1ll*x*x%p; 34 } 35 return ret; 36 } 37 int BSGS(int a,int b,int p){ 38 int m=(int)(sqrt(p)+0.999999); 39 if(b==1) return 0; 40 if(a==b) return 1; 41 if(!b){ 42 if(!a) return 1; 43 return -1; 44 } 45 ll x=1; 46 for(int i=1;i<=m;++i){ 47 x=x*a%p; 48 insert(x,i); 49 } 50 ll inv=1; 51 int inv2=ksm(a,p-m-1,p)%p; 52 for(int i=0;i<m;++i){ 53 int k=i*m; 54 if(inv==-1) return -1; 55 int ans=inv*b%p; 56 int jgy=find(ans); 57 if(~jgy){ 58 return k+jgy; 59 } 60 inv=1ll*inv*inv2%p; 61 } 62 return -1; 63 } 64 void init(){ 65 for(int i=0;i<mod;++i){ 66 hash[i].val=-1; 67 hash[i].next=0; 68 hash[i].id=0; 69 } 70 memset(head,0,sizeof(head)); 71 hcnt=0; 72 } 73 int main(){ 74 int a,b,p; 75 while(~scanf("%d%d%d",&p,&a,&b)){ 76 init(); 77 int dove=BSGS(a,b,p); 78 if(~dove) printf("%d\n",dove); 79 else printf("no solution\n"); 80 } 81 return 0; 82 }
當A和P互質的情況大概就是這樣