算法總結之拓撲排序

拓撲排序

1.一般應用

      拓撲排序常用來確定一個依賴關系集中，事物發生的順序。例如，在日常工作中，可能會將項目拆分成A、B、C、D四個子部分來完成，但A依賴於B和D，C依賴於D。為了計算這個項目進行的順序，可對這個關系集進行拓撲排序，得出一個線性的序列，則排在前面的任務就是需要先完成的任務。

2.實現的基本方法

　　(1)從有向圖中選擇一個沒有前驅(即入度為0)的頂點並且輸出它.

　　(2)從網中刪去該頂點,並且刪去從該頂點發出的全部有向邊.

　　(3)重復上述兩步,直到剩余的網中不再存在沒有前趨的頂點為止.

3.C++版本實現

/*以鄰接矩陣Edge[A][B]=N存放圖信息：A指向B，權值為N*/
/*假設不相連的邊的Edge==INT_MAX*/
void Topo()
{
    sort(Edge+1,Edge+N+1);
    for (int i=1; i<=N; i++)
    {
        int j;
        for (j=1; j<=N; i++)  //vis為標記數組，標記是否已經存在在Topo數組中
            if (!vis[j]&&!in[j]) //in數組表示的下標頂點的入度
            {
                Topo[i]=j;
                vis[j]=1;
                break;
            }
        for (int k=1;k<=N;k++) //將與j點相連的頂點的入度刷新
            if (Edge[j][k]!=INT_MAX)
                in[k]--;
    }
}

4.反向建圖

　　拓撲排序並不一定唯一，有時會要求頂點數值大的盡量在前，這個時候應該反向建圖，再進行拓撲排序，來保證更多小數值頂點在后面。（貪心思想？）

　　Eg：HDU 4857 POJ 3687（反向建圖+拓撲排序）

5.優化

　　拓撲排序每次選擇一個頂點進入序列后，要更新所有與這個頂點相連的頂點的入度。而上面的代碼全是把所有的頂點都遍歷了一邊。

　　這里可以使用鄰接表或者鏈式前向星這一類數據結構，來記錄圖的信息，可以做到只遍歷與該頂點相連的頂點。

6.優先隊列實現

/*優先隊列+鄰接表實現拓撲排序*/
void Topo()
{
    priority_queue<int> que;
    for (int i=1; i<=N; i++) //將入度為零的頂點壓入隊列
        if (dis[i]==0)
            que.push(i);
    int p=N+1;
    while (!que.empty())
    {
        int tmp=que.top();
        que.pop();
        topo[--p]=tmp;     //存入topo數組
        int z=first[tmp];
        while (z!=-1)       //鄰接表遍歷與tmp相連的頂點
        {
            dis[end[z]]--; //入度減一
            if(!dis[end[z]]) que.push(end[z]);
            z=next[z];
        }
    }
}