今天（2014.7.8）的報告中談到了圖的染色多項式。證明該結果是一個多項式是一個不錯的練習。
數學中最常見最簡單的關系是線性關系，這是線性代數學習的內容。
然后就屬多項式關系，很多有限型問題都能得出多項式的表達式。這是一個經典例子。
一個圖\(G\)是一個有限集合。它含有限個點，有限條邊。
圖\(G\)的一個染色，是把\(G\)的點染色，要求：若兩個點之間有邊相連，則這兩個點染不同的色。
給定圖\(G\)，\(k\)種顏色，總共的染色方法數記為\(P_G(k)\).求證：\(P_G(k)\)是\(k\)的多項式。即存在多項式\(f(k)\)使得\(P_G(k)=f(k)\)。
提示：
1. 先算幾個簡單的圖。
2. 給定圖\(G\)，把它減掉一條邊\(e\)，記為\(G’=G-e\);
把\(e\)的兩個端點合並為一個點，同時刪除邊\(e\)，得到的圖記為\(G''\)。
用\(P_{G’}(k)\)， \(P_{G’’}(k)\)表示\(P_G(k)\)。
推導\(P_G(k)\)和\(P_{G’}(k)\)， \(P_{G’’}(k)\)之間的遞推關系。
3. 利用歸納法：由\(P_{G’}(k)\)， \(P_{G’’}(k)\)都是\(k\)的多項式推出\(P_G(k)\)是\(k\)的多項式。
關於四色定理的Remark:
若\(G’\)是一個平面圖，則它的對偶圖\(G\)是這樣一個圖，\(G’\)把平面分成有限個區域，每個區域對應\(G\)的一個頂點，若兩個區域有一個公共邊，則在\(G\)的頂點之間連一條邊。這樣得到的圖即為\(G\)。
四色定理說一定有一個四染色，即：在\(P_G(k)\)中令\(k=4\),有\(P_G(4)>0\)。