蓄水池抽樣算法

問題定義

給你一個長度為N的鏈表。N很大，但你不知道N有多大。你的任務是從這N個元素中隨機取出k個元素。你只能遍歷這個鏈表一次。你的算法必須保證取出的元素恰好有k個，且它們是完全隨機的（出現概率均等）。

求解

蓄水池抽樣算法：

該算法是針對從一個序列中隨機抽取不重復的k個數，保證每個數被抽取到的概率為k/n這個問題而構建的。做法是： -
首先構建一個可放k個元素的蓄水池，將序列的前k個元素放入蓄水池中。
然后從第k+1個元素開始，以k/n的概率來決定該元素是否被替換到池子中。 當遍歷完所有元素之后，就可以得到隨機挑選出的k個元素。復雜度為O(n).

其偽代碼如下：

Init : a reservoir with the size： k

        for    i= k+1 to N

            M=random(1, i);
            if( M < k)
                 SWAP the Mth value and ith value
       end for

證明每個數被取到的概率為k/n:

1. 對於第i個數(i<k)，在前k步被選中的概率是1， 從第k+1步開始，i不被選中的概率為k/k+1,那么讀到第n個數時， 第i個數(i<k)被選中的概率 = 被選中的概率 * 以后每一步都不被換走的概率,即
   1 * k/k+1 * k+1/k+2 …n-1/n = k/n

2. 對於第j個數(j>=k)被選中的概率為： 在他出現時被選中的概率 * 在他出現以后不被換走的概率,即: 
   k/j * j /j+1 。。。n-1/n = k/n

3. 綜上得證。

 

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