遞歸函數的概念使用方法與實例

一、棧
     在說函數遞歸的時候，順便說一下棧的概念。
     棧是一個后進先出的壓入(push)和彈出(pop)式數據結構。在程序運行時，系統每次向棧中壓入一個對象，然后棧指針向下移動一個位置。當系統從棧中彈出一個對象時，近期進棧的對象將被彈出。然后棧指針向上移動一個位置。程序猿常常利用棧這種數據結構來處理那些最適合用后進先出邏輯來描寫敘述的編程問題。這里討論的程序中的棧在每一個程序中都是存在的，它不須要程序猿編寫代碼去維護，而是由運行是系統自己主動處理。所謂的系統自己主動維護，實際上就是編譯器所產生的程序代碼。盡管在源碼中看不到它們，但程序猿應該對此有所了解。
     再來看看程序中的棧是怎樣工作的。當一個函數(調用者)調用還有一個函數(被調用者)時，運行時系統將把調用者的全部實參和返回地址壓入到棧中，棧指針將移到合適的位置來容納這些數據。最后進棧的是調用者的返回地址。當被調用者開始運行時，系統把被調用者的自變量壓入到棧中，並把棧指針再向下移，以保證有足夠的空間存儲被調用者聲明的全部自變量。當調用者把實參壓入棧后，被調用者就在棧中以自變量的形式建立了形參。被調用者內部的其它自變量也是存放在棧中的。由於這些進棧操作，棧指針已經移動全部這些局部變量之下。可是被調用者記錄了它剛開始運行時的初始棧指針，以他為參考，用正或負的偏移值來訪問棧中的變量。當被調用者准備返回時，系統彈出棧中全部的自變量，這時棧指針移動了被調用者剛開始運行時的位置。接着被調用者返回，系統從棧中彈出返回地址，調用者就能夠繼續運行了。當調用者繼續運行時，系統還將從棧中彈出調用者的實參，於是棧指針回到了調用發生前的位置。
     可能剛開始學的人看不太懂上面的解說，棧涉及到指針問題，詳細能夠看看一些數據結構的書。要想學好編程語言，數據結構是一定要學的。

二、遞歸
     遞歸，是函數實現的一個非常重要的環節，非常多程序中都或多或少的使用了遞歸函數。遞歸的意思就是函數自己調用自己本身，或者在自己函數調用的下級函數中調用自己。
     遞歸之所以能實現，是由於函數的每一個運行過程都在棧中有自己的形參和局部變量的拷貝，這些拷貝和函數的其它運行過程毫不相干。這種機制是當代大多數程序設計語言實現子程序結構的基礎，是使得遞歸成為可能。假定某個調用函數調用了一個被調用函數，再假定被調用函數又反過來調用了調用函數。這第二個調用就被稱為調用函數的遞歸，由於它發生在調用函數的當前運行過程運行完成之前。並且，由於這個原先的調用函數、如今的被調用函數在棧中較低的位置有它獨立的一組參數和自變量，原先的參數和變量將不受影響，所以遞歸能正常工作。程序遍歷運行這些函數的過程就被稱為遞歸下降。
     程序猿需保證遞歸函數不會任意改變靜態變量和全局變量的值，以避免在遞歸下降過程中的上層函數出錯。程序猿還必須確保有一個終止條件來結束遞歸下降過程，並且返回到頂層。
     比如這種程序就是遞歸：

         void a(int);

         main()
         {
             int num=5;
             a(num);
         }

         void a(int num)
         {
             if(num==0) return;
             printf("%d",num);
             a(--num);
         }
        
     在函數a()里面又調用了自己，也就是自己調用本身，這樣就是遞歸。那么有些人可能要想，這不是死循環嗎？所以在遞歸函數中，一定要有return語句，沒有return語句的遞歸函數是死循環。
     我們分析上面的樣例，先調用a(5)，然后輸出5，再在函數中調用本身a(4)，接着回到函數起點，輸出4，……，一直到調用a(0)，這時發現已經滿足if條件，不在調用而是返回了，所以這個遞歸一共進行了5次。假設沒有這個return，肯定是死循環的。
     盡管遞歸不難理解，可是非常多在在使用遞歸函數的時候，問題多多。這里面一般有兩個原因：一是怎樣往下遞歸，也就是不知道怎么取一個變量遞歸下去；二是不知道怎么終止遞歸，常常弄個死循環出來。
     以下看幾個樣例：
     1.求1+2+……+100的和
         先分析一下。第一遞歸變量的問題，從題目上看應該取1,2,……,100這些變量的值作為遞歸的條件；第二就是怎樣終止的問題，從題目上看應該是當數為100的時候就不能往下加了。那么我們試着寫一下程序。

         int add(int);

         main()
         {
             int num=1,sn;
             sn=add(num);
             printf("%d/n",sn);
             getch();
         }

         int add(int num)
         {
             static int sn;
             sn+=num;
             if(num==100) return sn;
             add(++num);
         }

     分析一下程序：前調用add(1)，然后在子函數中把這個1加到sn上面。接着調用add(2)，再把sn加2上來。這樣一直到100，到了100的時候，先加上來，然后發現滿足了if條件，這時返回sn的值，也就是1+2+……+100的值了。
     這里有一個問題一定要注意，就是static int sn;
     有些人就不明確，為什么要使用static類型修飾符，為什么不使用int sn=0;？假設使用int sn=0;這種語句，在每次調用函數add()的時候，sn的值都是賦值為0,也就是第一步盡管加了1上來，可是第二次調用的時候，sn又回到了0。我們前面說了，static能保證本次初始化的值是上次運行后的值，這樣也就保證了前面想加的結果不會丟失。假設你改動為int sn=0，最后結果一定是最后的100這個值而不是5050。

     2.求數列s(n)=s(n-1)+s(n-2)的第n項。當中s(1)=s(2)=1。
         能夠看出，終止條件一定是s(1)=s(2)=1。遞歸下降的參數一定是n。

         int a(int);

         main()
         {
             int n,s;
             scanf("%d",&n);
             s=a(n);
             printf("%d/n",s);
             getch();
         }

         int a(int n)
         {
             if(n<3) return 1;
             return a(n-1)+a(n-2);
         }
        
     這個題目主要說明的是，在函數中，不一定僅僅有一個return語句，能夠有非常多，可是每次對歸的時候僅僅有一個起作用。題目不難理解，這兒不分析了。
     說了這些遞歸，事實上它和函數的調用沒有大的差別，主要就是一個終止條件要選好。遞歸函數非常多時候都能用循環來處理。

         main()
         {
             int n=20,array[20];
             int i;
             for(i=0;i<n;i++)
             {
                 if(i<2) array[i]=1;
                 else array[i]=array[i-1]+array[i-2];
             }
             printf("%d/n",array[19]);
             getch();
         }

     上面的程序就是實現一模一樣的功能的。可是它有一個缺陷，就是n的值不是通過鍵盤輸入來得到。假設想通過鍵盤來得到n，能夠這樣：

         main()
         {
             int n,i;
             int s1=1,s2=1,temp
             scanf("%d",&n);
             for(i=3;i<=n;i++)
             {
                 temp=s2;
                 s2+=s1;
                 s1=temp;
             }
             printf("%d/n",s2);
             getch();
         }

     可是在某些場合，使用遞歸比使用循環要簡單的多。並且有些題目，一看就知道應該使用遞歸而不是循環來處理