字典樹(Trie Tree)

基本概念和性質

在計算機科學中，trie，又稱前綴樹或字典樹或單詞搜索樹，是一種有序樹，用於保存關聯數組，其中的鍵通常是字符串。與二叉查找樹不同，鍵不是直接保存在節點中，而是由節點在樹中的位置決定。一個節點的所有子孫都有相同的前綴，也就是這個節點對應的字符串，而根節點對應空字符串。一般情況下，不是所有的節點都有對應的值，只有葉子節點和部分內部節點所對應的鍵才有相關的值。

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在圖示中，鍵標注在節點中，值標注在節點之下。每一個完整的英文單詞對應一個特定的整數。Trie 可以看作是一個確定有限狀態自動機，盡管邊上的符號一般是隱含在分支的順序中的。鍵不需要被顯式地保存在節點中。圖示中標注出完整的單詞，只是為了演示 trie 的原理。

trie 中的鍵通常是字符串，但也可以是其它的結構。trie 的算法可以很容易地修改為處理其它結構的有序序列，比如一串數字或者形狀的排列。比如，bitwise trie 中的鍵是一串位元，可以用於表示整數或者內存地址。

Trie樹是一種樹形結構，是一種哈希樹的變種。典型應用是用於統計和排序大量的字符串（但不僅限於字符串），所以經常被搜索引擎系統用於文本詞頻統計。它的優點是：最大限度地減少無謂的字符串比較，查詢效率比哈希表高。Trie的核心思想是空間換時間。利用字符串的公共前綴來降低查詢時間的開銷以達到提高效率的目的。

它有3個基本性質：

(1) 根節點不包含字符，除根節點外每一個節點都只包含一個字符。

(2) 從根節點到某一節點，路徑上經過的字符連接起來，為該節點對應的字符串。

(3) 每個節點的所有子節點包含的字符都不相同。

基本思想（以字母樹為例）：
1、插入過程
對於一個單詞，從根開始，沿着單詞的各個字母所對應的樹中的節點分支向下走，直到單詞遍歷完，將最后的節點標記為紅色，表示該單詞已插入Trie樹。
2、查詢過程
同樣的，從根開始按照單詞的字母順序向下遍歷trie樹，一旦發現某個節點標記不存在或者單詞遍歷完成而最后的節點未標記為紅色，則表示該單詞不存在，若最后的節點標記為紅色，表示該單詞存在。

Trie樹的實現

字母樹的插入（Insert）、刪除（ Delete）和查找（Find）都非常簡單，用一個一重循環即可，即第i 次循環找到前i個字母所對應的子樹，然后進行相應的操作。實現這棵字母樹，至於Trie樹的實現，可以用數組，也可以用指針動態分配，平時為了方便就用數組，靜態分配空間。

1、trie結構體

struct Trie
{
    Trie *next[26];
    bool isWord;
}Root;

2、插入操作

//插入操作(也是構建Trie樹)
void insert(char *tar)
{
    Trie* head = &Root;
    int id;
    while(*tar)
    {
        id = *tar - 'a';
        if(head->next[id] == NULL)
            head->next[id] = new Trie();
        head = head->next[id];
        tar++;
    }
    head->isWord = true;
}

3、查找操作

//查找
bool search(char *tar)
{
    Trie* head = &Root;
    int id;
    while(*tar)
    {
        id = *tar - 'a';
        if(head->next[id] == NULL)
            return false;
        head = head->next[id];
        tar++;
    }
    if(head->isWord)
        return true;
    else
        return false;
}

至於結點對兒子的指向，一般有三種方法：

1、對每個結點開一個字母集大小的數組，對應的下標是兒子所表示的字母，內容則是這個兒子對應在大數組上的位置，即標號；

2、對每個結點掛一個鏈表，按一定順序記錄每個兒子是誰；

3、使用左兒子右兄弟表示法記錄這棵樹。

三種方法，各有特點。第一種易實現，但實際的空間要求較大；第二種，較易實現，空間要求相對較小，但比較費時；第三種，空間要求最小，但相對費時且不易寫。

下面給出動態開辟內存的實現：

#define MAX_NUM 26
enum NODE_TYPE{ //"COMPLETED" means a string is generated so far.
  COMPLETED,
  UNCOMPLETED
};
struct Node {
  enum NODE_TYPE type;
  char ch;
  struct Node* child[MAX_NUM]; //26-tree->a, b ,c, .....z
};
struct Node* ROOT; //tree root
struct Node* createNewNode(char ch){
  // create a new node
  struct Node *new_node = (struct Node*)malloc(sizeof(struct Node));
  new_node->ch = ch;
  new_node->type == UNCOMPLETED;
  int i;
  for(i = 0; i < MAX_NUM; i++)
    new_node->child[i] = NULL;
  return new_node;
}
void initialization() {
//intiazation: creat an empty tree, with only a ROOT
ROOT = createNewNode(' ');
}
int charToindex(char ch) { //a "char" maps to an index<br>
return ch - 'a';
}
 
int find(const char chars[], int len) {
  struct Node* ptr = ROOT;
  int i = 0;
  while(i < len) {
   if(ptr->child[charToindex(chars[i])] == NULL) {
   break;
  }
  ptr = ptr->child[charToindex(chars[i])];
  i++;
  }
  return (i == len) && (ptr->type == COMPLETED);
}
void insert(const char chars[], int len) {
  struct Node* ptr = ROOT;
  int i;
  for(i = 0; i < len; i++) {
   if(ptr->child[charToindex(chars[i])] == NULL) {
    ptr->child[charToindex(chars[i])] = createNewNode(chars[i]);
  }
  ptr = ptr->child[charToindex(chars[i])];
}
  ptr->type = COMPLETED;
}

Trie樹的應用

Trie是一種非常簡單高效的數據結構，但有大量的應用實例。

（1） 字符串檢索

事先將已知的一些字符串（字典）的有關信息保存到trie樹里，查找另外一些未知字符串是否出現過或者出現頻率。

舉例：

1、給出N個單詞組成的熟詞表，以及一篇全用小寫英文書寫的文章，請你按最早出現的順序寫出所有不在熟詞表中的生詞。

2、給出一個詞典，其中的單詞為不良單詞。單詞均為小寫字母。再給出一段文本，文本的每一行也由小寫字母構成。判斷文本中是否含有任何不良單詞。例如，若rob是不良單詞，那么文本problem含有不良單詞。

（2）字符串最長公共前綴

Trie樹利用多個字符串的公共前綴來節省存儲空間，反之，當我們把大量字符串存儲到一棵trie樹上時，我們可以快速得到某些字符串的公共前綴。

舉例：

給出N 個小寫英文字母串，以及Q 個詢問，即詢問某兩個串的最長公共前綴的長度是多少？

解決方案：首先對所有的串建立其對應的字母樹。此時發現，對於兩個串的最長公共前綴的長度即它們所在結點的公共祖先個數，於是，問題就轉化為了離線（Offline）的最近公共祖先（Least Common Ancestor，簡稱LCA）問題。

而最近公共祖先問題同樣是一個經典問題，可以用下面幾種方法：

1. 利用並查集（Disjoint Set），可以采用采用經典的Tarjan 算法；

2. 求出字母樹的歐拉序列（Euler Sequence ）后，就可以轉為經典的最小值查詢（Range Minimum Query，簡稱RMQ）問題了；

（3）排序

Trie樹是一棵多叉樹，只要先序遍歷整棵樹，輸出相應的字符串便是按字典序排序的結果。

舉例：

給你N 個互不相同的僅由一個單詞構成的英文名，讓你將它們按字典序從小到大排序輸出。

（4） 作為其他數據結構和算法的輔助結構

如后綴樹，AC自動機等

字典樹基本模板

#define  MAX   26 //字符集大小

typedef struct TrieNode
{
    int nCount; //記錄該字符出現次數
    struct TrieNode *next[MAX];
}TrieNode;

TrieNode Memory[1000000];
int allocp = 0;

/*初始化*/
void InitTrieRoot(TrieNode **pRoot)
{
    *pRoot = NULL;
}

/*創建新結點*/
TrieNode *CreateTrieNode()
{
    int i;
    TrieNode *p;
    p = &Memory[allocp++];
    p->nCount = 1;
    for(i = 0 ; i < MAX ; i++) 
        p->next[i] = NULL;
    return p;
}

/*插入*/
void InsertTrie(TrieNode **pRoot , char *s)
{
    int i , k;
    TrieNode *p;
    if(!(p = *pRoot))
        p = *pRoot = CreateTrieNode();
    i = 0;
    while(s[i]) {
        k = s[i++] - 'a'; //確定branch
        if(p->next[k])
            p->next[k]->nCount++;
        else
            p->next[k] = CreateTrieNode();
        p = p->next[k];
    }
}

//查找
int SearchTrie(TrieNode **pRoot , char *s)
{
    TrieNode *p;
    int i , k;
    if(!(p = *pRoot))
        return 0;
    i = 0;
    while(s[i]) {
        k = s[i++] - 'a'; 
        if(p->next[k] == NULL) return 0;
        p = p->next[k];
    }
    return p->nCount;
}