接着LU分解繼續往下，就會發展出很多相關但是並不完全一樣的矩陣分解，最后對於對稱正定矩陣，我們則可以給出非常有用的cholesky分解。這些分解的來源就在於矩陣本身存在的特殊的
結構。對於矩陣A，如果沒有任何的特殊結構，那么可以給出A=L*U分解，其中L是下三角矩陣且對角線全部為1，U是上三角矩陣但是對角線的值任意，將U正規化成對角線為1的矩陣，產生分解A = L*D*U， D為對角矩陣。如果A為對稱矩陣，那么會產生A=L*D*L分解。如果A為正定對稱矩陣，那么就會產生A=G*G，可以這么理解G=L*sqrt(D)。
A=L*D*U分解對應的Matlab代碼如下：
function[L, D, U] =zldu(A)
%LDU decomposition of square matrix A. The first step for Cholesky
%decomposition
[m, n] = size(A);
if m ~= n
error('support square matrix only')
end
L = eye(n);
U = eye(n);
d = zeros(n,1);
for k=1:n
v = zeros(n, 1);
if k == 1
v(k:end) = A(k:end, k);
else
m = L(1:k-1, 1:k-1) \ A(1:k-1, k);
for j = 1:k-1
U(j, k) = m(j) / d(j);
end
v(k:end) = A(k:end, k) - L(k:end, 1:k-1)*m(:);
end
d(k) = v(k);
if k < n
L(k+1:end, k) = v(k+1:end)/v(k);
end
end
D = diag(d);
分解的穩定性和精度結果如下：
mean of my lu : 9.0307e-15
variance of my lu : 4.17441e-27
mean of matlab lu : 3.70519e-16
variance of matlab lu : 2.07393e-32
這里的計算是基於Gaxpy，所以穩定性和精確度相當之好。
A=L*D*L分解對應代碼如下，這里要求A必須為對稱矩陣：
function[D, L] =zldl(A)
%A = L*D*L' another version of LU decomposition for matrix A
[m, n] = size(A);
if m ~= n
error('support square matrix only')
end
L = eye(n);
d = zeros(n,1);
for k=1:n
v = zeros(n,1);
for j=1:k-1
v(j) = L(k, j)*d(j);
end
v(k) = A(k,k) - L(k, 1:k-1)*v(1:k-1);
d(k) = v(k);
L(k+1:end, k) = (A(k+1:end,k) - A(k+1:end, 1:k-1)*v(1:k-1)) / v(k);
end
D = diag(d);
對應分解的精確度和穩定度如下：
mean of my lu : 35.264
variance of my lu : 29011.2
mean of matlab lu : 5.88824e-16
variance of matlab lu : 8.40037e-32
使用如下的代碼做測試：
n = 1500;
my_error = zeros(1, n);
sys_error = zeros(1, n);
for i = 1:n
test = gensys(5);
[zd, zl] = zldl(test);
[l, d] = ldl(test);
my_error(i) = norm(zl*zd*(zl') - test, 'fro');
sys_error(i) = norm(l*d*(l') - test, 'fro');
end
fprintf('mean of my lu : %g\n', mean(my_error));
fprintf('variance of my lu : %g\n', var(my_error));
fprintf('mean of matlab lu : %g\n', mean(sys_error));
fprintf('variance of matlab lu : %g\n', var(sys_error));
對於運算的精度如此之低的原因並不清楚
A=G*G’; cholesky分解對應的代碼如下：
function[G] =zgaxpychol(A)
%cholesky decomposition for symmetric positive definite matrix
%the only requirement is matrix A: symmetric positive definite
[m, n] = size(A);
if m ~= n
error('support square matrix only')
end
G = eye(n);
for k=1:n
v = A(:,k);
if k > 1
v(:) = v(:) - G(:,1:k-1)*G(k,1:k-1)';
end
G(k:end, k) = v(k:end) / sqrt(v(k));
end
mean of my lu : 1.10711e-15
variance of my lu : 3.04741e-31
mean of matlab lu : 5.5205e-16
variance of matlab lu : 9.64928e-32
自己代碼的精確度和穩定性可以媲美Matlab的代碼，產生這種結果的原因應該是positive sysmetric definite matrix的原因，這段代碼基於gaxpy的結果，下面給出另外一種基於外積的運算結果。
function[G] =zopchol(A)
%cholesky decomposition based on rank-1 matrix update
[m, n] = size(A);
if m ~= n
error('support square matrix only')
end
G = zeros(n);
for k=1:n
G(k,k) = sqrt(A(k,k));
G(k+1:end, k) = A(k+1:end, k) / G(k,k);
%update matrix A
for j = (k+1):n
A(k+1:end,j) = A(k+1:end,j) - G(j,k)*G(k+1:end,k);
end
end
對應的測試結果如下：
mean of my lu : 9.33114e-16
variance of my lu : 1.71179e-31
mean of matlab lu : 9.92241e-16
variance of matlab lu : 1.60667e-31
對應的測試程序如下，這里使用系統自帶的chol函數完成cholesky分解。
n = 1500;
my_error = zeros(1, n);
sys_error = zeros(1, n);
for i = 1:n
test = genpd(5);
[zg] = zopchol(test);
l = chol(test, 'lower');
my_error(i) = norm(zg*(zg') - test, 'fro');
sys_error(i) = norm(l*(l') - test, 'fro');
end
fprintf('mean of my lu : %g\n', mean(my_error));
fprintf('variance of my lu : %g\n', var(my_error));
fprintf('mean of matlab lu : %g\n', mean(sys_error));
fprintf('variance of matlab lu : %g\n', var(sys_error));
將兩個結果想比較，可以發現兩個版本的cholesky分解的精確度和穩定度差不多。
Cholesky分解的核心在於矩陣對稱正定的結構，基於LU分解的再次擴展。