人口增長問題，最開始是由社會學家關注的問題。英國的經濟學家和人口學家馬爾薩斯(Thomas Robert Malthus)最先研究這個問題，馬爾薩斯在其著作《人口原理》提出了一個基本假設。
基本假設：
人口的自然增長率是一個常量，人口的變化率和當前的人口數目成正比。
基於這樣的一個基本假設，我們可以建立一個可用來描述人口數量隨時間演化的數學模型。設 $t$時刻 人口數量為 $x(t)$, $t+\Delta t$時刻人口的數量為 $x(t+\Delta t)$,設人口的自然增長率為 $\lambda$.依據假設
\[\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{x(t)\Delta t}=\lambda\]
令$\Delta t \to 0$,得到常微分方程
\[\frac{dx}{dt}=\lambda x(t)\]
我們選定一個時刻作為原點統計此時的人口數量 $x(0)=N_{0}$
上述微分方程很容易求解
\[x(t)=N_{0}e^{\lambda t}\]
長時間的漸進行為
\[\lim_{t\to +\infty}x(t)=+\infty\]
這就引起了“馬爾薩斯災難”，所謂“馬爾薩斯災難”是指人口的數量呈指數形式增長，而資源（糧食等）的增長是線性的，除了自然原因或者主動節育，人口的增長帶來的災難是不可避免的。這也是我國實行計划生育的理論依據
這個模型不僅在一定程度上回答了人口增長問題，對於類似的物種增長問題都做了回答，在短時期內與現實較好的吻合。這個模型的缺陷是顯而易見的，基本假設過於簡單，一個基本的事實是由於客觀環境限制人口增長速率不可能趨於無窮大。
1938年，Logistic模型提出，這個模型是馬爾薩斯模型的修正模型認為$\lambda$應該是$t$的函數，並且這個函數具有這樣的性質
當人口數量越接近環境總容量時，人口的自然增長率越低。
可用一個簡單數學公式描述，最簡單地設\[\lambda(t)=M-x(t)\]
這樣我們得到了微分方程
\[\frac{dx}{dt}=(M-x(t))x(t),x(0)=N_{0}\]
當$M>>x(t)$時，近似的退化成馬爾薩斯模型。對上面的模型進行求解
\[x(t)=\frac{M}{1-Ce^{-Mt}},C=1-\frac{M}{N_{0}}\]
長時間的漸進行為
\[\lim_{t\to\infty}x(t)=M\]
分析平衡點令 $\frac{dx}{dt}=0$，得 $x_{1}=0,x_{2}=M$.
當$0<x<M$ 時即物種數量尚未達到環境容量上限，$dx/dt>0$ 物種數量增加直至趨於環境容量上限。
當 $x>M$ 時物種數量已經超過環境容量上限，$dx/dt<0$ 物種數量遞減直至趨於環境容量上限。
分析平衡點穩定性:
$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}|_{x_{2}}=-M<0$ 是穩定的平衡點；
$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}|_{x_{1}}=M>0$ 是不穩定的平衡點。
令 $\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=0$ 得到 $x^{*}=\frac{M}{2}$ 即當物種數量達到環境容量上限的一半時，物種增長的最快。
對離散形式的Logistic映射會產生chaos現象。有文章在研究分數階的Logistic映射，這個以后再作補充說明。
Remark：
1. 物種的的增長速率未必和當前的物種數量相關，可能取決於孕期的雌性物種的數量，因此可建立時滯型的微分方程模型
\[\frac{dx}{dt}=f(x(t-\tau))\]
關於時滯型微分方程的分析更加復雜，可以參看專著。
2. 若物種的增長速率和之前所有時刻都相關則建立的模型及其分析更加復雜。目前比較熱門的分數階微分方程模型即屬於此類。
3. 一些參數需要統計得知，這里面又涉及到參數估計等。可以在方程里添加些噪聲，分析下噪聲的影響等。