圖基本算法 圖的表示方法 鄰接矩陣 鄰接表

　　

　　要表示一個圖G=(V,E)，有兩種標准的表示方法，即鄰接表和鄰接矩陣。這兩種表示法既可用於有向圖，也可用於無向圖。通常采用鄰接表表示法，因為用這種方法表示稀疏圖（圖中邊數遠小於點個數）比較緊湊。但當遇到稠密圖（|E|接近於|V|^2）或必須很快判別兩個給定頂點手否存在連接邊時，通常采用鄰接矩陣表示法，例如求最短路徑算法中，就采用鄰接矩陣表示。

　　圖G=<V，E>的鄰接表表示是由一個包含|V|個列表的數組Adj所組成，其中每個列表對應於V中的一個頂點。對於每一個u∈V，鄰接表Adj[u]包含所有滿足條件（u，v）∈E的頂點v。亦即，Adj[u]包含圖G中所有和頂點u相鄰的頂點。每個鄰接表中的頂點一般以任意順序存儲。

　　如果G是一個有向圖，則所有鄰接表的長度之和為|E|，這是因為一條形如（u，v）的邊是通過讓v出現在Adj[u]中來表示的。如果G是一個無向圖，則所有鄰接表的長度之和為2|E|，因為如果（u，v）是一條無向邊，那么u會出現在v的鄰接表中，反之亦然。鄰接表需要的存儲空間為O（V+E）。

　　鄰接表稍作變動，即可用來表示加權圖，即每條邊都有着相應權值的圖，權值通常由加權函數w：E→R給出。例如，設G=<V，E>是一個加權函數為w的加權圖。對每一條邊（u，v)∈E，權值w（u，v）和頂點v一起存儲在u的鄰接表中。

鄰接表C++實現:

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

#define maxn 100  //最大頂點個數
int n, m;       //頂點數，邊數

struct arcnode  //邊結點
{
    int vertex;     //與表頭結點相鄰的頂點編號
    int weight = 0;     //連接兩頂點的邊的權值
    arcnode * next; //指向下一相鄰接點
    arcnode() {}
    arcnode(int v,int w):vertex(v),weight(w),next(NULL) {}
    arcnode(int v):vertex(v),next(NULL) {}
};

struct vernode      //頂點結點，為每一條鄰接表的表頭結點
{
    int vex;    //當前定點編號
    arcnode * firarc;   //與該頂點相連的第一個頂點組成的邊
}Ver[maxn];

void Init()  //建立圖的鄰接表需要先初始化，建立頂點結點
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        Ver[i].vex = i;
        Ver[i].firarc = NULL;
    }
}

void Insert(int a, int b, int w)  //尾插法，插入以a為起點，b為終點，權為w的邊，效率不如頭插，但是可以去重邊
{
    arcnode * q = new arcnode(b, w);
    if(Ver[a].firarc == NULL)
        Ver[a].firarc = q;
    else
    {
        arcnode * p = Ver[a].firarc;
        if(p->vertex == b)  //如果不要去重邊，去掉這一段
        {
            if(p->weight < w)
                p->weight = w;
            return ;
        }
        while(p->next != NULL)
        {
            if(p->next->vertex == b)    //如果不要去重邊，去掉這一段
            {
                if(p->next->weight < w);
                    p->next->weight = w;
                return ;
            }
            p = p->next;
        }
        p->next = q;
    }
}
void Insert2(int a, int b, int w)   //頭插法，效率更高，但不能去重邊
{
    arcnode * q = new arcnode(b, w);
    if(Ver[a].firarc == NULL)
        Ver[a].firarc = q;
    else
    {
        arcnode * p = Ver[a].firarc;
        q->next = p;
        Ver[a].firarc = q;
    }
}

void Insert(int a, int b)   //尾插法，插入以a為起點，b為終點，無權的邊，效率不如頭插，但是可以去重邊
{
    arcnode * q = new arcnode(b);
    if(Ver[a].firarc == NULL)
        Ver[a].firarc = q;
    else
    {
        arcnode * p = Ver[a].firarc;
        if(p->vertex == b) return;      //去重邊，如果不要去重邊，去掉這一句
        while(p->next != NULL)
        {
            if(p->next->vertex == b)    //去重邊，如果不要去重邊，去掉這一句
                return;
            p = p->next;
        }
        p->next = q;
    }
}
void Insert2(int a, int b)   //頭插法，效率跟高，但不能去重邊
{
    arcnode * q = new arcnode(b);
    if(Ver[a].firarc == NULL)
        Ver[a].firarc = q;
    else
    {
        arcnode * p = Ver[a].firarc;
        q->next = p;
        Ver[a].firarc = q;
    }
}
void Delete(int a, int b)   //刪除以a為起點，b為終點的邊
{
    arcnode * p = Ver[a].firarc;
    if(p->vertex == b)
    {
        Ver[a].firarc = p->next;
        delete p;
        return ;
    }
    while(p->next != NULL)
        if(p->next->vertex == b)
        {
            p->next = p->next->next;
            delete p->next;
            return ;
        }
}

void Show()     //打印圖的鄰接表（有權值）
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cout << Ver[i].vex;
        arcnode * p = Ver[i].firarc;
        while(p != NULL)
        {
            cout << "->(" << p->vertex << "," << p->weight << ")";
            p = p->next;
        }
        cout << "->NULL" << endl;
    }
}

void Show2()     //打印圖的鄰接表(無權值）
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cout << Ver[i].vex;
        arcnode * p = Ver[i].firarc;
        while(p != NULL)
        {
            cout << "->" << p->vertex;
            p = p->next;
        }
        cout << "->NULL" << endl;
    }
}
int main()
{
    int a, b, w;
    cout << "Enter n and m：";
    cin >> n >> m;
    Init();
    while(m--)
    {
        cin >> a >> b >> w;       //輸入起點、終點
        Insert(a, b, w);        //插入操作
        Insert(b, a, w);        //如果是無向圖還需要反向插入
    }
    Show();
    return 0;
}

 

　　

　　鄰接表表示法也有潛在的不足之處，即如果要確定圖中邊（u,v）是否存在，只能在頂點u鄰接表Adj[u]中搜索v，除此之外沒有其他更快的辦法。這一不足可通過圖的鄰接矩陣表示法來彌補，但要（在漸進意義下）以占用更多的存儲空間為代價。

　　在圖G=(V,E)的臨界矩陣表示法中，假定各頂點按某種任意的方式編號為1,2,···，|V|，那么G的鄰接矩陣為一個|V|*|V|的矩陣A=(a[i][j])，它滿足：

　　觀察無向圖的鄰接矩陣會發現，它是沿主對角線對稱的。在一個無向圖中，（u,v）和（v,u）表示同一條邊，故無向圖的鄰接矩陣A的轉置矩陣就是它本真。在某些應用中，可以只存儲鄰接矩陣的對角線以及對角線以上的部分，這樣一來，圖所占用的存儲空間幾乎可以減少一半。

　　鄰接矩陣也可以用來表示加權圖。例如，如果G=<V，E>是一個加權圖，其權值函數為w，對於邊（u，v）∈E，其權值w（u，v）就可以簡單地存儲在鄰接矩陣的第u行第v列的元素中。如果邊不存在，則可以在矩陣的相應元素中存一個NIL值，在很多問題中，對這樣的元素賦0或∞會更為方便些。

鄰接矩陣C++實現：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

#define maxn 100
#define INF 1xffffff    //預定於的最大值
int n, m;   //頂點數、邊數
int g[maxn][maxn];      //鄰接矩陣表示

void Init()
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        g[i][j] = 0;    //講所有頂點度數置零，若為帶權圖，則置為INF
}
void Show() //打印鄰接矩陣
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            cout << g[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
}
int main()
{
    int a, b;
    cout << "Enter n and m:";
    cin >> n >> m;
    while(m--)
    {
        cin >> a >> b;  //輸入為邊的始點、終點，若有權，還需輸入權w
        g[a][b] = 1;    //a、b間存在邊，將g[a][b]置1，若有權，則將其置為權值
        g[b][a] = 1;    //對於無向圖，還要插入邊(b，a）
    }
    Show();
    return 0;
}

（文章以及相關代碼參考算法導論編寫）