數據結構：圖及其鄰接矩陣與鄰接表表示

圖

六度空間理論

圖中兩個頂點若要聯系，最多通過6個結點便可以完成 。

基本概念

• 圖用於表示“多對多”的關系。

• 包含

• 一組頂點：通常用V (Vertex) 表示頂點集合

• 一組邊：通常用E (Edge) 表示邊的集合

• 邊是頂點對：(v, w) E ，其中v, w V

• 有向邊< v, w> 表示從v指向w的邊（單行線）

  

• 不考慮重邊和自回路

  • 重邊：兩個頂點之間有兩條邊。
  • 自回路：一個頂點的邊指向自己。
    

抽象數據類型定義

• 類型名稱：圖（Graph）
• 數據對象集：G(V,E)由一個非空的有限頂點集合V和一個有限邊集合E組成。
• 操作集：對於任意圖G  Graph，以及v  V, e  E
• Graph Create()：建立並返回空圖；
• Graph InsertVertex(Graph G, Vertex v)：將v插入G；
• Graph InsertEdge(Graph G, Edge e)：將e插入G；
• void DFS(Graph G, Vertex v)：從頂點v出發深度優先遍歷圖G；
• void BFS(Graph G, Vertex v)：從頂點v出發寬度優先遍歷圖G；
• void ShortestPath(Graph G, Vertex v, int Dist[])：計
  算圖G中頂點v到任意其他頂點的最短距離；
• void MST(Graph G)：計算圖G的最小生成樹；

怎么在程序中表示一個圖

• 對頂點進行編號。
• 頂點序號所對應在鄰接矩陣中的值為1。
• 因為沒有自回路，所以對角線全為0。
• 無向圖為對稱矩陣。
  

問題：對於無向圖的存儲，怎樣可以省一半空間？

• 用一個長度為N(N+1)/2的1維數組A存儲{G00,G10,G11,……,Gn-1 0,…,Gn-1 n-1}，則Gij在A中對應的下標是：(i*(i+1)/2+j)。
  -對於網絡，只要把G[i][j]的值定義為邊<vi,vj>的權重即可。
  

鄰接矩陣—— 有什么好處？

• 直觀、簡單、好理解
• 方便檢查任意一對頂點間是否存在邊
• 方便找任一頂點的所有“鄰接點”（有邊直接相連的頂點）
• 方便計算任一頂點的“度”（從該點發出的邊數為“出
  度”，指向該點的邊數為“入度”）
• 無向圖：對應行（或列）非0元素的個數
• 有向圖：對應行非0元素的個數是“出度”；對應列非0元素的
  個數是“入度”

鄰接矩陣—— 有什么不好？

• 浪費空間—— 存稀疏圖（點很多而邊很少）有大量無效元素
• 對稠密圖（特別是完全圖）還是很合算的
• 浪費時間—— 統計稀疏圖中一共有多少條邊

鄰接表

• G[N]為指針數組，對應矩陣每行一個鏈表，只存非0元素

鄰接矩陣—— 有什么好處？

• 方便找任一頂點的所有“鄰接點”
• 節約稀疏圖的空間：需要N個頭指針+2E（每個節點至少兩個域）
• 方便計算任一頂點的“度”？：對無向圖：是的，對又想吐只能計算出度，需要構造“逆鄰接表”計算入度。

鄰接矩陣—— 有什么不好？

• 不方便檢查任意一對頂點間是否存在邊。

代碼實現

• 設定初始參數，最大值和權值頂點數
• 設定邊結點，用於連接頂點。
• 設定圖結點，建立頂點數，邊數，表示關系的鄰接矩陣。
• 設定插入函數，把邊插入到圖當中。

設定參數

• 設定INFINITY為最大值，便於權值的比較。

#define MaxVertexNum 100    /* 最大頂點數設為100 */
#define INFINITY 65535        /* ∞設為雙字節無符號整數的最大值65535*/
typedef int Vertex;         /* 用頂點下標表示頂點,為整型 */
typedef int WeightType;        /* 邊的權值設為整型 */
typedef char DataType;        /* 頂點存儲的數據類型設為字符型 */
 

設定邊結點

• 包括邊結點、邊結點的指針、邊連接的兩個頂點和邊的權重。

/* 邊的定義 */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode{
    Vertex V1, V2;      /* 有向邊<V1, V2> */
    WeightType Weight;  /* 權重 */
};
typedef PtrToENode Edge;
      

設定圖結點

• 包括圖結點、圖結點的指針、包含的頂點數、邊數、圖的鄰接矩陣、頂點存儲的數據。

/* 圖結點的定義 */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode{
    int Nv;  /* 頂點數 */
    int Ne;  /* 邊數   */
    WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /* 鄰接矩陣 */
    DataType Data[MaxVertexNum];      /* 存頂點的數據 */
    /* 注意：很多情況下，頂點無數據，此時Data[]可以不用出現 */
};
typedef PtrToGNode MGraph; /* 以鄰接矩陣存儲的圖類型 */
 

創建一個圖

• 創建一個圖結點並將頂點初始化，返回指針。

 
MGraph CreateGraph( int VertexNum )
{ /* 初始化一個有VertexNum個頂點但沒有邊的圖 */
    Vertex V, W;
    MGraph Graph;
     
    Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode)); /* 建立圖 */
    Graph->Nv = VertexNum;
    Graph->Ne = 0;
    /* 初始化鄰接矩陣 */
    /* 注意：這里默認頂點編號從0開始，到(Graph->Nv - 1) */
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
        for (W=0; W<Graph->Nv; W++)  
            Graph->G[V][W] = INFINITY;
             
    return Graph; 
}
   

將邊插入到頂點當中

• 接受一個邊結點，把對應值的關系儲存。
• 若是無向圖要儲存兩次。

     
void InsertEdge( MGraph Graph, Edge E )
{
     /* 插入邊 <V1, V2> */
     Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;    
     /* 若是無向圖，還要插入邊<V2, V1> */
     Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;
}
 

建立圖

MGraph BuildGraph()
{
    MGraph Graph;
    Edge E;
    Vertex V;
    int Nv, i;
     
    scanf("%d", &Nv);   /* 讀入頂點個數 */
    Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv個頂點但沒有邊的圖 */ 
     
    scanf("%d", &(Graph->Ne));   /* 讀入邊數 */
    if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有邊 */ 
        E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode)); /* 建立邊結點 */ 
        /* 讀入邊，格式為"起點 終點 權重"，插入鄰接矩陣 */
        for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {
            scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight); 
            /* 注意：如果權重不是整型，Weight的讀入格式要改 */
            InsertEdge( Graph, E );
        }
    } 
 
    /* 如果頂點有數據的話，讀入數據 */
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) 
        scanf(" %c", &(Graph->Data[V]));
 
    return Graph;
}