1. 前言
在圖像分析里，投影曲線是我們經常要用到的一個圖像特征，通過投影曲線我們可以看到在某一個方向上，圖像灰度變化的規律，這在圖像分割，文字提取方面應用比較廣。一個投影曲線，它的關鍵信息就在於波峰與波谷，所以我們面臨的第一個問題就是找到波峰與波谷。
第一次涉及到求波峰與波谷時，很多人都不以為意，覺得波谷波峰還不容易，無非是一些曲線變化為零的點，從離散的角度來說，也就是:
波峰：$F(x)>F(x-1) 且 F(x)>F(x+1)$
波谷：$F(x)<F(x-1) 且 F(x)<F(x+1)$
這么簡單嗎？顯示不是，你首先就會遇到這樣的曲線圖，然后圖上的波峰點並不滿足上面的條件。
看到這種情況，你也許會考慮在上面的等式中把$>$和$<$改為$\ge$和$\le$。
波峰：$F(x)\ge F(x-1) \&\& F(x) > F(x+1)$ 或者 $F(x)> F(x-1) \&\& F(x) \ge F(x+1)$
波谷：$F(x)\le F(x-1) \&\& F(x) < F(x+1)$ 或者 $F(x)< F(x-1) \&\& F(x) \le F(x+1)$
這次是否就這樣簡單，答案顯示不是，下面的這個圖就會讓你對一些非峰值點作出錯誤的判斷。
上面這幅圖真正的峰值只有一個，其他平台上的點，你如果按上面修改的公式，就會被錯誤的當成波峰點。
下面讓我們看一下，到底如何能求得准確的曲線波峰與波谷。
2. 波峰波谷算法
投影曲線實際上是一個一維的向量：
$$V=[v_1,v_2,\dots,v_n]$$
其中$v_i,i \in [1,2,\dots,N]$，代表圖像在第$i$行或列上的灰度累積。當然不僅僅是投影曲線，$T$也可以是某一事件中變量的觀測值，我們需要研究這個變量的變化規律。
下面給出波峰與波谷的算法：
1，假投影曲線可以表示為$V=[v_1,v_2,\dots,v_n]$。
2，計算V的一階差分向量$Diff_V$:
$$Diff_v(i)=V(i+1)-V(i),其中i\in {1,2,\dots,N-1}$$
3,對差分向量進行取符號函數運算，$Trend=sign(Diff_v)$,即遍歷$Diff_v$，若$Diff_v(i)$大於0，則取1；如果小於0，則取-1，否則則值為0。
$$ sign(x)=\left\{
\begin{aligned}
1& \ \ if\ \ x>0 \\
0& \ \ if\ \ x=0 \\
-1& \ \ if\ \ x<0
\end{aligned}
\right.
$$
4，從尾部遍歷$Trend$向量,進行如下操作：
$$
if\ Trend(i)=0且Trend(i+1)\ge0，則Trend(i)=1 \\
if\ Trend(i)=0且Trend(i+1)<0，則Trend(i)=-1
$$
5，對$Trend$向量進行一階差分運算，如同步驟2，得到$R=diff(Trend)$。
6，遍歷得到的差分向量$R$，如果$R(i)=-2$，則$i+1$為投影向量$V$的一個峰值位，對應的峰值為$V(i+1)$；如果$R(i)=2$，則$i+1$為投影向量$V$的一個波谷位，對應的波谷為$V(i+1)$。
下面我們來結合一個實際的向量值，給中中間結合的計算。
1，$V=[-5,10,10,14,14,8,8,6,6,-3,2,2,2,2,-3]$。
它的曲線圖像如下把示，圖中紅色圈標出了曲線的峰值，而綠字圈標出了圖像的波谷位置。
2，計算$V$的一階差分，我們得到$Diff(V)=[15,0,4,0,,-6,0,-2,0,-9,5,0,0,0,-5]$。
3，對$Diff_v$進行取符號運算，得到向量$Trend=[1,0,1,0,-1,0,-1,0,-1,1,0,0,0,-1]$。
4，對$Trend$作一次遍歷，如步驟4。$Trend=[1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,-1,-1,-1,-1]$。
5，對$Trend$做一階差分，得到向量$R=Diff(Trend)=[0,0,-2,,0,0,0,0,0,2,-2,0,0,0]$。
6，遍歷向量$R$,我們就得到了兩個峰值點和一個波谷點。
3. 算法原理
其實上述算法的核心思路非常簡單，曲線的峰值點，滿足一階導數為0，並且滿足二階導數為負；而波谷點，則滿足一階導數為0，二階導數為正。
在上面的算法里面，我們首先計算了一階的導數$Diff_v$，然后我們將其符號化，是因為我們並不關心一階導數的大小。
然后我們去看那些一階層數為0的地方，我們發現，那些平台上的點，有些並不是波峰與波谷，然后很多處在上坡與下坡的路上，所以我們將它們的一階導數設為與它們所在的坡面梯度方向相同。
最后我們再來計算二階導數時，就會發現只要為2或者-2,所以曲線斜在這個點發生了變化，由正變負或由負變正。找到這些點，也就找到了原曲線中的波峰或波谷點。
4. 實現
下面給出這個算法的C++實現，findPeaks是查找波峰函數，而查找波谷函數則類似，這里沒有寫在一個函數內。函數接受一個Vecotr<int>的向量，輸出為一個vector<int>的位置向量。
void findPeak(const vector<int>& v, vector<int>& peakPositions) { vector<int> diff_v(v.size() - 1, 0); // 計算V的一階差分和符號函數trend for (vector<int>::size_type i = 0; i != diff_v.size(); i++) { if (v[i + 1] - v[i]>0) diff_v[i] = 1; else if (v[i + 1] - v[i] < 0) diff_v[i] = -1; else diff_v[i] = 0; } // 對Trend作了一個遍歷 for (int i = diff_v.size() - 1; i >= 0; i--) { if (diff_v[i] == 0 && i == diff_v.size() - 1) { diff_v[i] = 1; } else if (diff_v[i] == 0) { if (diff_v[i + 1] >= 0) diff_v[i] = 1; else diff_v[i] = -1; } } for (vector<int>::size_type i = 0; i != diff_v.size() - 1; i++) { if (diff_v[i + 1] - diff_v[i] == -2) peakPositions.push_back(i + 1); } }