整數划分問題

整數划分 －－－ 一個老生長談的問題:

描述

整數划分是一個經典的問題。請寫一個程序,完成以下要求。

 

 

輸入

每組輸入是兩個整數n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)

輸出

對於輸入的 n,k;
第一行： 將n划分成若干正整數之和的划分數。
第二行： 將n划分成k個正整數之和的划分數。
第三行： 將n划分成最大數不超過k的划分數。
第四行： 將n划分成若干個 奇正整數之和的划分數。
第五行： 將n划分成若干不同整數之和的划分數。
第六行： 打印一個空行

樣例輸入

5 2

樣例輸出

7
2
3
3
3

提示

樣例輸出提示:
1.將5划分成若干正整數之和的划分為： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
2.將5划分成2個正整數之和的划分為： 3+2, 4+1
3.將5划分成最大數不超過2的划分為： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
4.將5划分成若干 奇正整數之和的划分為： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
5.將5划分成若干不同整數之和的划分為： 5, 1+4, 2+3

 

 

下面是我根據網上的資料, 寫出自己的分析和實現過程.

分析:

 

本題使用動態規划（Dynamic Programming）方法解決

一 求將n划分為若干正整數之和的划分數

 

1. 若划分的多個整數可以相同

　　設dp[i][j]為將i划分為不大於j的划分數

　　(1) 當i<j 時，i不能划分為大於i的數，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 當i>j 時，可以根據划分中是否含有j分為兩種情況。若划分中含有j，划分方案數為dp[i-j][j]；若划分數中不含j，相當於將i划分為不大於j-1的划分數，為dp[i][j-1]。所以當i>j時dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]；

　　(3) 當i=j 時，若划分中含有j只有一種情況，若划分中不含j相當於將i划分為不大於j-1的划分數。此時dp[i][j]=1+dp[i][j-1]。

dp[n][n]可以解決問題1，dp[n][k]表示將n划分為最大數不超過k的划分數，可以解決問題3。

2. 若划分的正整數必須不同

　　設dp[i][j]為將i划分為不超過j的不同整數的划分數

　　(1) 當i<j時，i不能划分為大於i的數，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 當i>j時，可以根據划分中是否含有j分為兩種情況。若划分中含有j，則其余的划分中最大只能是j-1，方案數為dp[i-j][j-1]；若划分中不含j，相當於將i划分為不大於j-1的划分數，為dp[i][j-1]。所以當i>j時dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i][j-1]；

　　(3) 當i=j時，若划分中含有j只有一種情況，若划分中不含j相當於將i划分為不大於j-1的划分數。此時dp[i][j]=1+dp[i][j-1]

dp[n][n]表示將n划分為不同整數的划分數，可以解決問題5.

 

二 將n划分為k個整數的划分數

設dp[i][j]為將i划分為j個整數的划分數。

　　(1) i<j為不可能出現的情況，dp[i][j]=0；

　　(2) 若i=j，有一種情況：i可以划分為i個1之和，dp[i][j]=1；

　　(3) 若i>j，可以根據划分數中是否含有1分為兩類：若划分數中含有1，可以使用“截邊法”將j個划分分別截去一個1，把問題轉化為i-j的j-1個划分數，為dp[i-j][j-1]； 若划分中不包含1，使用“截邊法”將j個划分數的最下面一個數截去，將為題轉化為求i-j的j個划分數，為dp[i-j][j]。所以i>j時dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i-j][j]。

dp[n][k]為將n划分為k個整數的划分數，可解決問題2。

 

三 將n划分為若干正奇數之和的划分數

 

設f[i][j]為將i划分為j個奇數之和的划分數，g[i][j]為將i划分為j個偶數之和的划分數。

使用截邊法，將g[i][j]的j個划分都去掉1，可以得到f[i-j][j]，所以

g[i][j] = f[i-j][j]。

f[i][j]中有包含1的划分方案和不包含1的划分方案。對於包含1的划分方案，可以將1的划分除去，轉化為“將i-1划分為j-1個奇數之和的划分數”，即f[i-1][j-1]；對於不包含1的划分方案，可以使用截邊法對j個划分每一個都去掉一個1，轉化為“將i-j划分為j個偶數之和的划分數”，即g[i-j][j]。

所以f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。

f[n][0]+f[n][1]+……+f[n][n]為將n划分為若干奇數的划分數，為問題4的答案。

 

參考: [1]  http://blog.csdn.net/a83610312/article/details/12685653

         [2]  http://www.cnblogs.com/jackge/p/3163835.html

 

實現代碼:

網上關於本題的實現代碼都是C語言寫的, 而且有過多的計算. 本來根據用戶的輸入規模n, 直接計算n*n的矩陣就可以了, 但是網上的代碼計算的是N*N, N是個預設的值, 而且比n大很多, 這樣就影響了程序的速度.

下面是我的C++實現:

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n, k;
    while(cin>>n>>k) {
        int num[n+1][n+1];                     // num[i][j]表示將i划分為不大於j的划分數
        int num1[n+1][n+1];                     // num1[i][j]表示將i划分為不大於j的不同整數的划分數
        int num2[n+1][n+1];                     // num2[i][j]表示將i划分為j個整數之和的划分數
        int g[n+1][n+1], f[n+1][n+1];          // f[i][j]表示將i划分為j個奇數的划分數,g[i][j]表示將i划分為j個偶數的划分數

        for(int i=0; i<=n; i++)
            for(int j=0; j<=n; j++)
                num[i][j]=num1[i][j]=num2[i][j]=f[i][j]=g[i][j]=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=1; j<=n; j++) {
                if(i<j) {
                    num[i][j]=num[i][i];
                    num1[i][j]=num1[i][i];
                    num2[i][j]=0;
                }
                else if(i == j) {
                    num[i][j]=1+num[i][j-1];
                    num1[i][j]=1+num1[i][j-1];
                    num2[i][j]=1;
                }
                else {
                    num[i][j]=num[i-j][j]+num[i][j-1];
                    num1[i][j]=num1[i-j][j-1]+num1[i][j-1];
                    num2[i][j]=num2[i-1][j-1]+num2[i-j][j];
                }
            }

        // 這一部分不太理解, 為什么運行會是正確的, 求大牛解釋
        f[0][0]=1; g[0][0]=1;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=1; j<=i; j++) {
                g[i][j] = f[i-j][j];
                f[i][j] = g[i-j][j] + f[i-1][j-1];
            }

        int res1 = num[n][n];
        int res2 = num2[n][k];
        int res3 = num[n][k];
        int res4 = 0;
        for(int i=0; i<=n; i++)
            res4 += f[n][i];
        int res5 = num1[n][n];

        cout<<res1<<endl<<res2<<endl<<res3<<endl<<res4<<endl<<res5<<endl<<endl;
    }
}