整數划分問題（遞歸法）

說明一下問題，什么是整數划分？

• n=m1+m2+...+mi; （其中mi為正整數，並且1 <= mi <= n），則{m1,m2,...,mi}為n的一個划分。
• 如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超過m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，則稱它屬於n的一個m划分。這里我們記n的m划分的個數為f(n,m);
• 舉個例子，當n=5時我們可以獲得以下這幾種划分（注意，例子中m>=5）

5 = 5 
   = 4 + 1 
   = 3 + 2 
   = 3 + 1 + 1 
   = 2 + 2 + 1 
   = 2 + 1 + 1 + 1 
   = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

 

一、 動態規划解法

根據n和m的關系，考慮以下幾種情況： 
1. 當n=1時，不論m的值為多少（m>0)，只有一種划分即{1}; 
2. 當m=1時，不論n的值為多少，只有一種划分即n個1，{1,1,1,...,1}; 
3. 當n=m時，根據划分中是否包含n，可以分為兩種情況： 
    (1) 划分中包含n的情況，只有一個即{n}； 
    (2) 划分中不包含n的情況，這時划分中最大的數字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1); 
4. 當n<m時，由於划分中不可能出現負數，因此就相當於f(n,n); 
5. 但n>m時，根據划分中是否包含最大值m，可以分為兩種情況： 
    (1) 划分中包含m的情況，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和為n-m，可能再次出現m，因此是（n-m）的m划分，因此這種划分個數為f(n-m, m); 
    (2) 划分中不包含m的情況，則划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，個數為f(n,m-1);因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

 

綜合以上情況，我們可以看出，上面的結論具有遞歸定義特征，其中（1）和（2）屬於回歸條件，（3）和（4）屬於特殊情況，將會轉換為情況（5）。而情況（5）為通用情況，屬於遞推的方法，其本質主要是通過減小m以達到回歸條件，從而解決問題。其遞推表達式如下：

• f(n, m)= 1; (n=1 or m=1)
• f(n, m)=f(n, n); (n<m)
• 1+ f(n, m-1); (n=m)
• f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)

 

據此我們獲得了動態規划的代碼：

 

幾個變種：

（一）要求1,2,3,4..,m中每個數只允許使用一次的時？

此時我們需要調整我們的狀態轉換公式。

f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m) 應該更改為：f(n-m,m-1)+f(n,m-1); (n>m)

為什呢？因為每個數最多使用一次，f(n-m,m-1)表示我們取了數m，f(n,m-1)表示我們沒取，但是無論取不取數m我們以后都不會再次取數m了。

當然嘍，我們還需要調整邊界狀態：當m=1時，f(n,m)=1；當n=1而m>1時，f(n,m)=0。

其他不變！

 

（二）要求只能取1,2,3,4,..,m中的奇數？（默認m為奇數，如果不是則m=m-1）

這個呢，我們首先需要調整邊界狀態：當m=1時，f(n,m)=1；當n=1而m>1時，f(n,m)=0

其次，我們需要調整狀態轉換公式：

f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m) 應該更改為：f(n-m,m)+f(n,m-2); (n>m)

這是因為我們不能取偶數，故而當m為奇數的時候，m-1為偶數（只能被選擇0次），f(n,m-1)=f(n,m-2);

（三）要求我們所取的 （n=m1+m2+...+mi ）中  m1 m2 ... mi連續，比如5=1+4就不符合要求了。

這個的話，需要做一下轉換，留待下一篇文章說明

注意，一般而言動態規划算法是用非遞歸從下往上計算的，上述代碼采用遞歸形式只是為了便於理解，真正實現的話最好采用非遞歸形式。