2020-01-07
遞歸是什么：
遞歸，從定義上說，指的是某個函數直接或者間接調用自己時，則發生了遞歸。
比如說著名的斐波拉契數列的實現方法之一：
1 public static int f(int n){ 2
3 if(n == 1 || n == 2) return 1; 4
5 return f(n-1) + f(n-2); 6
7 }
在這個例子中，對於n大於2的情況，我們都直接調用f自身來遞歸解決了這個問題。
從底層的情況來思考，實際上計算機將相關的函數先壓入stack中，然后再pop出來，由此要使用額外的空間與時間，所以當相關的算法設計的不夠精巧時，可能會帶來額外的開支。
這個算法的數學本質其實並不神秘，就是普通的數學歸納法而已：為了解決問題p(n),首先解決基礎情況p(1)，然后假定p(n-1)已被完成，在此條件下，若能解出p(n),那么這一問題可解。（我們中學學習時，往往是用於證明一些問題，這里需要把它遷移到編程解決一個特定問題，略有區別）
從其數學本質上看似乎不難，但是，實際編程時，遞歸的思考實際上是“違反直覺的”（英文就是counter-intuitive），想一步步理解清楚遞歸函數究竟做了什么，即使對於很有經驗的程序員來說，也是很困難的。這也是遞歸類問題一直給初學者帶來困擾的主要原因。
如果姿勢水平不夠，那就得再學習一個。參考[1]的說法，理解遞歸時，只需要“明白每個函數能做的事，並相信它們能夠完成”就可以了，拆解也是一件較為模塊化的事情，理解只需要達到“這個部分能完成xx功能”即可，過度的拆解實際上不利於編程。
基於這樣的思想，我們可以引入所謂“遞歸三要素”來思考遞歸相關的問題。[2]（在九章算法的相關課程中第一回見到這個說法，至於課程本身，大家見仁見智吧）
遞歸三要素：
遞歸的定義：遞歸函數接受什么參數、返回什么值、代表什么意思。當函數直接或間接調用自己時，也就發生了遞歸。
簡而言之，就是由於在編程過程中，會重復地運用這個函數，所以這個函數的可復用性應當會很強，一般而言要從問題中抽象出較為通用的求解范式。
遞歸的拆解：每次的遞歸都要讓問題的規模變小。
比如說，在斐波拉契數列問題中，我們每一步至少向前兩步逼近一些問題；在分治法相關的遞歸設計中，往往可以將問題分解為左右兩個對稱的部分，先拆解，再綜合結果進行比較或其他運算。
遞歸的出口：遞歸必須有一個明確的結束條件。
如果說前面都是在“遞”，那么這一步就是確定何時“歸”。如果久遞不歸，那就頗有點“濁酒一杯家萬里，燕然未勒歸無計”的味道了，對計算機而言，最后的結果自然是內存溢出。
在編程時，需要注意給定一個限制條件讓函數return值。
LeetCode 206 Reverse Linked List：
題目不難理解，就是將一個線性鏈表反轉里面的數據，如果原本是1->2->3->4->5->null,反轉完成后則變為5->4->3->2->1->null。（null是空指針，代表鏈表的結束）
當然，本題自然也可以不用遞歸，直接使用迭代法(iterative)來解決，對於每一個節點，都保存其前驅(pre)以及后繼(next)兩個節點，不斷進行原地(in-place)逆序即可。
此處還是以遞歸法來說明所謂“遞歸三要素”的理解應用：
對於這樣一個鏈表，實際上用於保存它的方法是很簡單的，它只保存了一個頭節點，而每一個節點定義如下：
class ListNode{ int data; Node next; }
每一個節點只保存了自己的數據（此處是int）以及下一個節點的引用（或者說是地址，但是java沒有指針，所以其實是下一個節點的引用）。
因此，這個問題天然地具有一種類似於數學上自同構(auto-morphism)的感覺，也就是問題可以被分解為對於每一個節點進行處理。
1.遞歸的定義：我們可以試着定義一個遞歸函數，它只處理一個給定節點，返回的是已經被處理好的鏈表的第一個節點。（比如說，對於1-2-3-4-5，如果輸入一個3，返回的是5，對應的其實就是5-4這樣一個被處理好的部分，隨后將3再接到5-4之后，形成1-2-3以及5-4-3的情況）
2.遞歸的拆解：由於我們一開始只知道頭節點head，所以比較合理的遞歸/前進方式是，每次輸入一個head.next，也就是向后一次遍歷一個引用，這也是合理的，因為從數據結構上來看，我們也只能作這樣的訪問。
3.遞歸的出口：到什么情況我們可以返回一個處理好的鏈表呢？其實這時對應的往往都是基礎/平凡(trivial)的情況。對於本題，就是返回空指針、單個節點的情況（因為這樣的情況不需要再反轉了）。
由此我們可以給出代碼：
1 // 遞歸的定義：下面的函數返回的是，將給定節點之后（包括這一節點）所有的節點反轉之后的鏈表的頭節點 2 // 輸入：一個給定的節點 3 // 輸出：包含本節點在內的反轉鏈表的頭節點 4 public ListNode reverseList(ListNode head){ 5 // 遞歸的出口：當是空指針或者單個節點時，返回其本身 6 if(head == null || head.next == null) return head; 7 8 // 遞歸的拆解：一個新的反轉鏈表 = 當前節點之后的反轉鏈表 + 將當前節點移動到已有的反轉鏈表之后 9 ListNode next = reverseList(head.next); 10 head.next.next = head; // 注意，在修改head.next之前，head.next指向的依舊是原來的后續節點 11 head.next = null; 12 return next; // 返回新的反轉鏈表 13 }
應該說，這個代碼基本體現出了遞歸的三要素，在之后的練習中，也應該多思考遞歸函數的設計，而不是湊對了、看懂了就草草帶過去，相關的設計思想往往就被遺漏了。
對於這一話題，下一步的計划：
1.練習更多、難度更大的題目
2.閱讀一些算法教材，從更底層和本質的角度思考遞歸問題
Reference: