划分為 k 個正整數
設 \(f_{i,j}\) 為把 \(i\) 划分為 \(j\) 個數的方案數，得：
\[\large f_{i,j}=f_{i-j,j} + f_{i-1,j-1} \]
整體加 \(1\) 和新划分 \(1\)。
划分為不重復的 k 個正整數
設 \(f_{i,j}\) 為把 \(i\) 划分為 \(j\) 個數的方案數，得：
\[\large f_{i,j}=f_{i-j,j} + f_{i-j,j-1} \]
整體加 \(1\) 和整體加 \(1\) 后再新划分 \(1\)。
划分為不大於 m 的不重復的 k 個正整數
設 \(f_{i,j}\) 為把 \(i\) 划分為 \(j\) 個數的方案數，得：
\[\large f_{i,j}=f_{i-j,j} + f_{i-j,j-1} - f_{i-(m+1),j-1} \]
整體加 \(1\) 和整體加 \(1\) 后再新划分 \(1\)。
當 \(i > m\) 時減去后面一項，因為每個數不重復，所以每次轉移最多有一個數大於 \(m\)，變為 \(m+1\)，需要減去其貢獻。
划分為 k 個奇數
設 \(f_{i,j}\) 為把 \(i\) 划分為 \(j\) 個奇數的方案數，\(g_{i,j}\) 為把 \(i\) 划分為 \(j\) 個偶數的方案數，得：
\[\large \begin{aligned} f_{i,j}&=g_{i-j,j}+f_{i-1,j-1} \\ g_{i,j}&=f_{i-j,j} \end{aligned} \]
優化
上面的 \(DP\) 直接做復雜度都是 \(O(n^2)\) 的，無法接受，考慮優化。
划分為若干個正整數
分成兩塊\([1,S-1],[S,n]\)來計算，最后用乘法原理統計答案。
前一塊用直接用完全背包求解。
后一塊中被划分的數大於等於 \(S\)，所以原先的 \(DP\) 中 \(j\) 只用枚舉到 \(\frac{n}{S}\)，這里考慮到的最小的數也不再是 \(1\)，而是 \(S\)，於是方程變為：
\[\large f_{i,j}=f_{i-j,j} + f_{i-S,j-1} \]
復雜度為 \(O(n(S+\frac{n}{S}))\)，\(S=\sqrt n\) 時最優，復雜度為 \(O(n\sqrt n)\)。
划分為不重復的若干個正整數
\(j\) 個數的最小值為 \(\sum\limits_{k=1}^j k = \frac{j(j+1)}{2} \leqslant i\)，得 \(j\) 是根號級別的。