《怎樣解題》這本書是在看《編程大師訪談錄》（中文版第12頁）這本書時無意發現的，一個編程大師推薦這本書來指導編程設計，google到這本書后粗略地翻看了一遍，發現是一本教學生如何解數學題的非常有年頭的書。隨着仔細品讀，發現這本書更多地是寫給老師們的，而不僅僅是寫給學生的，但學生也能從中學到許多在解題過程中的思維技巧和思維方式。看這本書一是看看對自己編程有什么幫助，再一個就是讓孩子掌握解題的思考方式。
波利亞在1945年完成了這本書的第一版，書很快暢銷，被翻譯成了17種語言，1957年出了第二版，我看的中文版好像是閻育蘇在90年代翻譯的，里面有些字句翻譯得不太准確，我對照着英語版，發現許多地方是把英語中的should翻譯錯了。
這本書主要是通過2頁紙的“怎樣解題表”來展開的，作者把解題的過程分為了弄清問題、擬定計划、實現計划和回顧4個步驟，每個步驟中提出了一些普遍性的問題，這些問題非常適合老師用來引導學生一步步找到答案，正如古話說“授之以魚，不如授之以漁”，波利亞針對一個問題，並不是把答案扔給學生，也不是把解題過程扔給學生，而是提出許多問題來，這些問題非常有技巧，不能太泛，也不能太具體，通過學生自己回答問題，來去發現問題的解。在“怎樣解題表”中就是一系列的問題，而全書前面用一些例子說明了提出這些問題的目的，后面給出了一些術語說明或思維技巧，當然里面也穿插着一些例題，許多題並不需要高中以上的知識，但仍有相當的難度，但跟隨着書中的問題，你果然也能夠想到問題的解。
書的第一部分介紹了解題表的目的，四個階段的主要問題。
書的第二部分介紹了在四個階段可以思考哪些問題。
書的第三部分叫“探索法小詞典”，里面的條目是按英文的字母順序來排列的，翻譯后作者就很難找到這些條目的對應關系，需要來回查找這67個條目。
書的第四部分給出一些習題和答案，與其它書不同的是還給出了解題的提示問題。
怎樣解題表
| 一、弄清問題[1]
你必須弄清問題 |
未知數[2]是什么？已知數是什么？條件[3]是什么？ 是不是有可能滿足所有條件[4]？要確定此未知數，條件是不是充分的？或者不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？ 畫張圖[5]，引入適當的符號[6]Notation。 把各個條件拆開考慮[7]，你能把它們寫下來嗎? |
| 二、擬定計划
找出已知數與未知數之間的聯系。 如果找不出直接的聯系，你可能需要考慮輔助問題。 |
你以前見過這個問題嗎？或者是形式稍有不同的相同問題？[8] 你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能會用到的定理？ 看着未知數！[9]試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。 你有一個早已解決的問題，且與你現在的問題有關，你能不能利用它？ 能利用它的結果嗎[10]？你能利用它的方法嗎？是不是可以引入某個輔助元素[11]，就可以利用它？你能重新敘述這個問題嗎？你能不能換種方法來重新敘述它？ 回到定義去[12]。 如果你不能解決所提出的問題[13]，可以先解決一個與此有關的問題。你能不能想出一個更容易着手的有關問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對於未知數能確定到什么程度？未知數會怎樣變化？你能不能從已知數據導出某些有用的東西？你能不能想出適合於確定未知數的其他數據？如果需要的話，你能不能改變未知數或已知數據，或者二者都改變，以使新未知數和新數據彼此更接近？ 你是否利用了所有的已知數據？你是否利用了全部條件？你是否考慮了問題中的所有主要概念？ |
| 三、實行計划
實行你的計划 |
執行你的求解計划，檢驗每一步驟。 你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的？ |
| 四、回顧
驗算所得到的解 |
你能驗證這個結果嗎？[14]能否用別的方法導出這個結果[15]？你能一下子看出結果來嗎？ 你能不能把這一結果或方法用於其他的問題？ |
[1] 這張解題表主要是針對求解題來說明的，另外一類問題是求證題（或證明題），可以參看【42】。
[2] 未知數的英文原文是unknown，對於一個方程題，這個未知數容易理解，對於一道作圖題，這個未知數就是指要作出的圖形，對於一道謎語，這個未知數就是指的謎底。對於求證題，要解決的問題就是證明那個結論。作者指出了求解題的三要素（書中翻譯成主要部分Principal Parts）：未知Unknown、已知Data和條件Condition。
[3] 在【57】新舊術語中介紹了條件，條件用來把未知和已知聯系起來。
[4] 在【10】指出條件可以划分為多個部分，這些條件可能正好是充分的，有可能有些條件是多余的Redundant【46】，或自相矛盾的【11】。例如：三個未知數的三元一次方程，如果有3個方程，那么可能是充分的；如果給了4個方程式，那就或者是冗余的，或者是矛盾的。
[5] 作者強調了在解題中圖【24 Figures】的重要性。對於幾何題是必須要畫圖的，畫精確的圖太浪費時間，但草圖也不能太草，否則可能會使你產生誤解。一個普通的三角形可以畫成三個角大概是45度、60度和75度，這樣這個三角形就既不是等腰三角形也不是直角三角形。畫圖時可以用實線虛線、粗線細線或不同顏色的線來表示不同的特點，比如可以用藍色來區分兩個相似的三角形。即使不是幾何問題，經常也是可以畫出圖形來幫助解題的。
[6] 作者在【38】里指出，選用好的適合的數學符號，有時對解題會很有幫助。
[7] 在【15】中談到可以將問題分解和重新組合，在【51】中說明可以將已知數據先與一小部分條件考慮，看能得出什么，分開考慮之后再經過組合，有時會立刻出來結果。書中給出一個例題，已知一個三角形的頂角、高和底邊，畫出這個三角形。先考慮固定底邊，相同高的三角形的頂點會形成什么圖形？再考慮固定底邊，相同頂角的三角形的頂點是個什么圖形？把所有條件一起考慮，問題就解決了！
[8] 在【26】中談到要積極地搜索以前學過的知識，以前做過的類似的題。
[9] 對於求解題就是看着未知數，對於求證題，就是看着結論。做題的過程中不要忘了你的目標【36】。
[10] 利用普遍化【25 Generalization 】、特殊化【54 Specialization 】、類比【1】或分解組合【15】等方法，很容易想出一個新問題【8】。
[11] 做幾何題里的輔助元素【2】通常就是指輔助線，引出新的未知數，就會產生輔助問題【3】，這里舉了一個並不簡單的做圖題例，已知三角形的頂角、高和周長，作出這個三角形。
[12] 吃透定義【16】對於解題非常重要，這里有一個有關拋物線的例題來說明掌握拋物線的准確定義對於解題非常關鍵，已知一拋物線的焦點、准線，還有另外一直線（第86頁），作出直線與拋物線的交點來。如果不知道拋物線上的所有點到焦點的距離與到准線的距離相等這個定義，那么這道題將無從下手。
[13] 在解題過程受阻時，這里給出了一些思考方法，想想以前相關的問題，簡化問題，更普遍的問題，類比，只考慮部分條件，改變已經數或未知數，畫個圖，列方程，重新思考定義，從已知數向前推導、思考對稱性【56】、或者倒着干【67】等等。
[14] 檢驗過程要避免單純的重復【6】，在跌倒過的地方，如果環境與上次一樣，你還會犯同樣的錯誤，所以在檢驗的過程中要刻意地去改變一下次序，重新分組，或一種辦法等，代入一些特殊值進行檢驗通常是比較快速的辦法，在一個任意三角形公式中，可以用等邊三角形這些特殊的三角形來快速驗證結果的正確性；另外還有量綱檢驗【58】，對稱性檢驗等辦法進行粗略的檢驗。
[15] 作完題后如果再能找到更簡便的解法，會加深你對這類題型的印象。第61頁給出了正圓台側面積公式的另一種思考方式，能更快地求出圓台的側面積，並且與梯形面積公式進行了類比，從而不需死記硬背。
下面是第三部分中各詞條的中英文對照表
【1】類比Analogy
【2】輔助元素Auxiliary Elements
【3】輔助問題Auxiliary Problem
【4】波爾查諾Bolzano
【5】好念頭Bright Idea
【6】你能檢驗這結果嗎?Can you check the result?
【7】你能用不同方法推導出這一結果嗎? Can you derive the result differently?
【8】你能利用這個結果嗎? Can you use the result?
【9】實施計划Carrying out（原文翻譯為實現）
【10】條件Condition
【11】矛盾Contradictory
【12】推論Corollary
【13】你能從已知數據推導出某些有用的東西嗎?Could you derive something useful from the data?
【14】你能重新敘述這個問題嗎?Could you restate the problem?
【15】分解與重新組合Decomposing and recombining
【16】定義Definition
【17】笛卡爾Descartes
【18】決心，希望，成功 Determination, Hope, Success
【19】診斷Diagnosis
【20】你是否利用了所有的已知數? Did you use all the data?
【21】你知道一個與此有關的問題嗎? Do you know a related problem?
【22】畫張圖Draw a figure
【23】檢驗你的猜測Examine your guess
【24】圖形Figures
【25】普遍化Generalization
【26】你以前見過它嗎? Have you seen it before?
【27】這個問題與你以前早已解決的問題有關 Here is a problem related to yours and sloved before
【28】探索法Heuristic（我喜歡翻譯為啟發法）
【29】啟發式推理Heuristic Reasoning（原文翻譯為探索式論證）
【30】如果你不能解決所提出的問題If you cannot solve the proposed problem
【31】歸納與數學歸納法Induction and mathematical induction
【32】發明家的悖論Inventor’s paradox
【33】能滿足條件嗎? Is it possible to satisfy the condition?
【34】萊布尼茲Leibnitz
【35】引理Lemma
【36】看着未知數Look at the unknown
【37】現代探索法Modern heuristic
【38】符號Notation
【39】帕撲斯Pappus
【40】拘泥與精通Pedantry and Mastery
【41】實用的問題Practical Problems
【42】求解題，求證題Problems to find, Problems to prove
【43】進展與成就Progress and Achievement
【44】謎語Puzzles
【45】歸謬法與間接證明Reductio ad absurdum and indirect proof
【46】冗余的Redundant
【47】常規問題Routine problem （原文中翻譯為代公式問題）
【48】發明創造的規律Rules of discovery
【49】風格的規律Rules of style
【50】教學的規律Rules of teaching
【51】把條件的各個部分分開Separate the various parts of the condition
【52】建立方程Setting up equations
【53】進展的標志Signs of progress
【54】特殊化Specialization
【55】潛意識的工作Subconscious work
【56】對稱Sysmmetry
【57】新術語和老術語Terms, old and new
【58】量綱檢驗 Test by dimension
【59】未來的數學家 The future mathematician
【60】聰明的解題者The intelligent problem-solver
【61】聰明的讀者 The intelligent reader
【62】傳統的數學教授 The traditional mathematics professor
【63】問題的變化 Variation of the problem
【64】未知數是什么? What is the unknown?
【65】為什么要證明? Why proofs?
【66】諺語的智慧 Wisdom of proverbs
【67】倒着干 Working backwards