特征值和特征向量的幾何意義、計算及其性質

一、特征值和特征向量的幾何意義

特征值和特征向量確實有很明確的幾何意義，矩陣（既然討論特征向量的問題，當然是方陣，這里不討論廣義特征向量的概念，就是一般的特征向量）乘以一個向量的結果仍是同維數的一個向量。因此，矩陣乘法對應了一個變換，把一個向量變成同維數的另一個向量。

那么變換的效果是什么呢？這當然與方陣的構造有密切的關系，比如可以取適當的二維方陣，使得這個變換的效果就是將平面上的二維變量逆時針旋轉30度。這時，我們可以思考一個問題，有沒有向量在這個變換下不改變方向呢？可以想一下，除了零向量，沒有其他向量可以在平面上旋轉30度而不改變方向的，所以這個變換對應的矩陣（或者說這個變換自身）沒有特征向量（注意：特征向量不能是零向量）。

綜上所述，一個變換（或者說矩陣）的特征向量就是這樣一種向量，它經過這種特定的變換后保持方向不變，只是進行長度上的伸縮而已。再想想特征向量的原始定義：

可以很容易看出，cx是方陣A對向量x進行變換后的結果，顯然cx和x的方向相同。而且x是特征向量的話，ax也是特征向量（a是標量且不為零），所以特征向量不是一個向量而是一個向量族。

另外，特征值只不過反映了特征向量在變換時的伸縮倍數而已。對一個變換而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不那么重要。雖然我們求這兩個量時先求出特征值，但特征向量才是更本質的東西！特征向量是指經過指定變換（與特定矩陣相乘）后不發生方向改變的那些向量，特征值是指在經過這些變換后特征向量的伸縮的倍數。

 

二、特征值和特征向量的計算

使用Matlab求矩陣的特征值和特征向量：

矩陣D的對角線元素存儲的是A的所有特征值，而且是從小到大排列的。矩陣V的每一列存儲的是相應的特征向量，因此V的最后一列存儲的就是矩陣A的最大特征值對應的特征向量。

 

三、特征值和特征向量的性質

性質1. n階方陣A=(a_ij)的所有特征根為l₁，l₂，…, l_n(包括重根)，則

 

性質2. 若 l 是可逆陣A的一個特征根，x為對應的特征向量，則 是A^-1的一個特征根，x仍為對應的特征向量。

 

性質3. 若 l 是方陣A的一個特征根，x為對應的特征向量，則l^m是A^m的一個特征根，x仍為對應的特征向量。

 

性質4. 設 l₁，l₂，…, l_m是方陣A的互不相同的特征值。x_j是屬於l_i 的特征向量( i=1,2,…,m)，則 x₁,x₂,…,x_m線性無關，即不相同特征值的特征向量線性無關 。

性質4可推廣為：設 l₁，l₂，…, l_m為方陣A的互不相同的特征值，x₁₁,x₁₂,…,x_1,k1是屬於l₁的線性無關特征向量，……，x_m1,x_m2,…,x_m,k1是屬於l_m 的線性無關特征向量。則向量組 x₁₁,x₁₂,…,x_1,k1,…, x_m1,x_m2,…,x_m,k1也是線性無關的。即對於互不相同特征值，取他們各自的線性無關的特征向量，則把這些特征向量合在一起的向量組仍是線性無關的。

 

 

對於任意一個矩陣，不同特征值對應的特征向量線性無關。

對於實對稱矩陣或埃爾米特矩陣來說，不同特征值對應的特征向量必定正交（相互垂直）。

注：

埃爾米特矩陣（Hermitian matrix）(又稱“自共軛矩陣”)是共軛對稱的方陣。埃爾米特矩陣中每一個第i行第j列的元素都與第j行第i列的元素共軛相等。