狀態壓縮DP（使用位運算加速）
這是個經典的狀態壓縮DP，為加深印象詳細寫寫一下報告，由於是中文題目所以不說題意了
思考方法：首先，一個炮的攻擊有兩行，所以對於第i行來講，i-1行和i-2行對它有影響，i-3行及以上的都沒有影響了，所以我們要得到第i行的信息，只需要知道i-1和i-2的信息（最近有個體會，DP要找到什么因素影響了當前你要求的東西，有影響的我們就處理，沒影響的我們不用管）。接着我們就思考怎么表示狀態。山用1表示，空地用0表示，空地放了兵也用1表示，那么對於一行，就是一個01的串，這是個二進制數，我們可以想到狀態壓縮壓縮回來一個十進制數。
比如原地圖01101011，那么0處可以放兵，所有那么多個0，可以變為1（但也要考慮炮與炮之間不能攻擊），要枚舉全部情況，我們很自然想到了dfs來枚舉，很多解題報告是這樣做的，這樣確實也能解決，但不是最好的方法。最好的方法是位運算。
要想到位運算，要跳出思維的限制，在一行中，原有的1是固定不能變，炮不能放在山上。0是可以變為1的，但是要保證炮與炮之間不能攻擊。要滿足這兩個要求，我們可以拆開來做。先滿足了炮與炮不能互相攻擊，然后在這些擺放中再選出跑不在山上的。
只考慮炮的話，枚舉量2^10-1，但實際上滿足的不足60個，網上有人問過60是怎么計算的，實際上准確的做法我也不確定，但是能大概推出來。一列最多10位，最多其實只能放4個炮，然后接着看3個炮，2個炮，1個炮，0個炮的情況，就可以大致算出。
枚舉方法是 for(i=0; i<(i<<col); i++) if( !(i&(i<<1)) & !(i&(i<<2)) ) i是合法狀態 這個是要點，要理解
int state[MAXM]; 保存狀態（十進制數），是僅僅滿足了炮與炮不互相攻擊，但是沒有滿足炮不在山上
對於一開始的地圖，還沒放炮，它本身已經表示了一個狀態，所以也先壓成一個狀態，保存在一個數組中
再者，我們得到了一個狀態state[i]，我們怎么知道這個狀態下放了多少炮啊？其實就是判斷state[i]這個十進制數變為二進制數后有多少個1，這個要怎么統計呢？位運算！
並且把對應的士兵人數保存在 int soldier[MAXM]; //對應着，在state[i]狀態下能放多少個士兵
int base[MAXR]; //第i行的原地圖壓縮成的一個狀態
那么怎么判斷炮不在山上呢？ 只要state[i] & base[r] = 0 ,就表示state[i]這個狀態，可以放在r這行上，而且炮不會在山上，炮之間也不會攻擊，這是個要點，理解
然后前面說了，i行，i-1行，i-2行的炮會互相影響，他們可能會互相攻擊到對方，所以我們假設現在i行，i-1行，i-2行的炮的擺放情況分別是state[i],state[j],state[k]
只有當他們都不兩兩攻擊的時候，這3個狀態才能放在一起，否則這3個狀態不能放在一起。那么怎么判斷他們不會兩兩攻擊呢，方法一樣的
state[i] & state[j] = 0 state[i] & state[k] = 0 state[j] & state[k] = 0 ，三個要同時滿足，要點，理解
你會發現多次需要用到 一種判斷 a&b 是為0還是不為0，所以我們代碼中將其寫成宏定義方便查看，實際上寫成宏后時間慢了一點
#define legal(a,b) (a&b) //判斷兩個狀態共存時是否合法，合法為0，不合法為非0
最后看狀態轉移方程，設dp[r][i]表示第r行，狀態為state[i]是的最大值，
dp[r][i]=max { dp[r-1][j]+dp[r-2][k] } + soldier[i]
也就是第r-1行的狀態為state[j]，第r-2行的狀態為state[k]的和，並加上當前行放了soldier[i]個士兵 ， 但要滿足state[i],state[j],state[k]不能互相攻擊
接着我們可以可以寫成三維的形式 dp[r][i][j]= max{ dp[r-1][j][k]} + soldier[i] , dp[r][i][j]表示第r行狀態為state[i]，第r-1行為state[j]的最大值
然后可以看代碼了
#include <cstdio> #include <cstring> #define MAXR 110 //行數 #define MAXC 15 //列數 #define MAXM 70 //狀態數 #define max(a,b) a>b?a:b //返回較大值 #define CL(a) memset(a,0,sizeof(a)) //初始化清空數組 #define legal(a,b) a&b //判斷兩個狀態共存時是否合法，合法為0，不合法為非0 int row,col; //行列 int nums; //僅是兩個炮兵不互相攻擊的條件下，符合條件的狀態個數 int base[MAXR]; //第i行的原地圖壓縮成的一個狀態 int state[MAXM]; //僅是兩個炮兵不互相攻擊的條件下，符合條件的狀態（一個十進制數） int soldier[MAXM]; //對應着，在state[i]狀態下能放多少個士兵 int dp[MAXR][MAXM][MAXM]; //dp[i][j][k] 表示第i行狀態為state[j]，第i-1行狀態為state[k]時的最優解 char g[MAXR][MAXC]; int main() { CL(base); CL(state); CL(soldier); CL(dp); nums=0; scanf("%d%d",&row,&col); for(int i=0; i<row; i++) //先計算原始地圖的狀態數 { scanf("%s",g[i]); for(int j=0; j<col; j++) if(g[i][j]=='H') base[i]+=1<<j; //像0110000，這里計算為6 } for(int i=0; i<(1<<col); i++) //僅是兩個炮兵不互相攻擊的條件下計算所有狀態 { if( legal(i,i<<1) || legal(i,i<<2)) continue; //i這個狀態出現了士兵兩兩攻擊 int k=i; while(k) //這個循環計算狀態i的二進制形式里面有多少個1，也就是放了多少個士兵 { soldier[nums]+=k&1; //等價於k%2，相當於判斷k的二進制形式里面有多少個1 k=k>>1; } state[nums++]=i; //保存這個合法的狀態 } /***************************************/ //for(int i=0; i<nums; i++) printf("%d %d\n",state[i],soldier[i]); /***************************************/ for(int i=0; i<nums; i++) //先初始化dp[0][i][0]，即初始化第1行的情況 { if(legal(state[i],base[0])) continue; //在state[i]的基礎上，還要滿足士兵不能放在山上，這個判斷就是處理這個問題的 dp[0][i][0]=soldier[i]; } for(int i=0; i<nums; i++) //接着初始化dp[1][i][j]，即第2行的情況 { if(legal(state[i],base[1])) continue; for(int j=0; j<nums; j++) //枚舉第1行的狀態 { if(legal(state[j],base[0])) continue; if(legal(state[i],state[j])) continue; dp[1][i][j]=max(dp[1][i][j] , dp[0][j][0]+soldier[i]); //狀態轉移方程 } } for(int r=2; r<row; r++) //第3行開始DP直到最后 for(int i=0; i<nums; i++) //枚舉第r行的狀態 { if(legal(state[i],base[r])) continue; for(int j=0; j<nums; j++) //枚舉第r-1行的狀態 { if(legal(state[j],base[r-1])) continue; if(legal(state[i],state[j])) continue; //第r行的士兵和第r-1行的士兵相互攻擊 for(int k=0; k<nums; k++) //枚舉第r-2行的狀態 { if(legal(state[k],base[r-2])) continue; if(legal(state[j],state[k])) continue; //第r-1行的士兵和第r-2行的士兵相互攻擊 if(legal(state[i],state[k])) continue; //第r行的士兵和第r-1 dp[r][i][j]=max(dp[r][i][j] , dp[r-1][j][k]+soldier[i]); } } } int ans=0; for(int i=0; i<nums; i++) for(int j=0; j<nums; j++) //枚舉dp[row-1][i][j] ans=max(ans,dp[row-1][i][j]); printf("%d\n",ans); return 0; }