算法題-魔方矩陣問題

49.Algorithm Gossip: 奇數魔方陣

說明

將1到n(為奇數)的數字排列在nxn的方陣上，且各行、各列與各對角線的和必須相同，如下所示：

解法

填魔術方陣的方法以奇數最為簡單，第一個數字放在第一行第一列的正中央，然后向右(左)上填，如果右(左)上已有數字，則向下填，如下圖所示：

一般程序語言的陣列索引多由0開始，為了計算方便，我們利用索引1到n的部份，而在計算是向右(左)上或向下時，我們可以將索引值除以n值，如果得到余數為1就向下，否則就往右(左)上，原理很簡單，看看是不是已經在同一列上繞一圈就對了。

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#define N 5 
int main(void) { 
    int i, j, key; 
    int square[N+1][N+1] = {0}; 
    i = 0; 
    j = (N+1) / 2; 
    for(key = 1; key <= N*N; key++) { 
        if((key % N) == 1) 
            i++; 
        else { 
            i--; 
            j++; 
        } 
        if(i == 0) 
            i = N; 
        if(j > N) 
            j = 1; 
        square[i][j] = key; 
    } 
    for(i = 1; i <= N; i++) { 
        for(j = 1; j <= N; j++) 
            printf("%2d ", square[i][j]); 
    } 
    return 0; 
}

50.Algorithm Gossip: 4N 魔方陣

說明

與 奇數魔術方陣 相同，在於求各行、各列與各對角線的和相等，而這次方陣的維度是4的倍數。

解法

先來看看4X4方陣的解法：

簡單的說，就是一個從左上由1依序開始填，但遇對角線不填，另一個由左上由16開始填，但只填在對角線，再將兩個合起來就是解答了；如果N大於2，則以 4X4為單位畫對角線：

至於對角線的位置該如何判斷，有兩個公式，有興趣的可以畫圖印證看看，如下所示：

左上至右下：j % 4 == i % 4

右上至左下：(j % 4 + i % 4) == 1

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#define N 8 
int main(void) { 
    int i, j; 
    int square[N+1][N+1] = {0}; 
    for(j = 1; j <= N; j++) { 
        for(i = 1; i <= N; i++){ 
            if(j % 4 == i % 4 || (j % 4 + i % 4) == 1) 
                square[i][j] = (N+1-i) * N -j + 1; 
            else 
                square[i][j] = (i - 1) * N + j; 
        } 
    } 
    for(i = 1; i <= N; i++) { 
        for(j = 1; j <= N; j++) 
            printf("%2d ", square[i][j]); 
        printf("\n"); 
    } 
    return 0; 
}

51.Algorithm Gossip: 2(2N+1) 魔方陣

說明

方陣的維度整體來看是偶數，但是其實是一個奇數乘以一個偶數，例如6X6，其中6=2X3，我們也稱這種方陣與單偶數方陣。

解法

如果您會解奇數魔術方陣，要解這種方陣也就不難理解，首先我們令n=2(2m+1)，並將整個方陣看作是數個奇數方陣的組合，如下所示：

首先依序將A、B、C、D四個位置，依奇數方陣的規則填入數字，填完之后，方陣中各行的和就相同了，但列與對角線則否，此時必須在A-D與C- B之間，作一些對應的調換，規則如下：

將A中每一列(中間列除外)的頭m個元素，與D中對應位置的元素調換。

將A的中央列、中央那一格向左取m格，並與D中對應位置對調

將C中每一列的倒數m-1個元素，與B中對應的元素對調

舉個實例來說，如何填6X6方陣，我們首先將之分解為奇數方陣，並填入數字，如下所示：

接下來進行互換的動作，互換的元素以不同顏色標示，如下：

由於m-1的數為0，所以在這個例子中，C-B部份並不用進行對調。

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#define N 6 
#define SWAP(x,y) {int t; t = x; x = y; y = t;} 
void magic_o(int [][N], int); 
void exchange(int [][N], int); 
int main(void) { 
    int square[N][N] = {0}; 
    int i, j; 
    magic_o(square, N/2); 
    exchange(square, N); 
    for(i = 0; i < N; i++) { 
        for(j = 0; j < N; j++) 
            printf("%2d ", square[i][j]); 
        printf("\n"); 
    } 
    return 0; 
} 
void magic_o(int square[][N], int n) { 
    int count, row, column; 
    row = 0; 
    column = n / 2; 
    for(count = 1; count <= n*n; count++) { 
        square[row][column] = count; // 填A 
        square[row+n][column+n] = count + n*n; // 填B 
        square[row][column+n] = count + 2*n*n; // 填C 
        square[row+n][column] = count + 3*n*n; // 填D 
        if(count % n == 0) 
            row++; 
        else { 
            row = (row == 0) ? n - 1 : row - 1 ; 
            column = (column == n-1) ? 0 : column + 1; 
        } 
    } 
} 
void exchange(int x[][N], int n) { 
    int i, j; 
    int m = n / 4; 
    int m1 = m - 1; 
    for(i = 0; i < n/2; i++) { 
        if(i != m) {
            for(j = 0; j < m; j++) // 處理規則 1 
                SWAP(x[i][j], x[n/2+i][j]); 
            for(j = 0; j < m1; j++) // 處理規則 2 
                SWAP(x[i][n-1-j], x[n/2+i][n-1-j]); 
        } 
        else { // 處理規則 3 
            for(j = 1; j <= m; j++) 
                SWAP(x[m][j], x[n/2+m][j]); 
            for(j = 0; j < m1; j++) 
                SWAP(x[m][n-1-j], x[n/2+m][n-1-j]); 
        } 
    } 
}