一、 基本統計處理
1、查取最大值
MAX函數的命令格式有：
[Y,I]= max (X)：將max(X)返回矩陣X的各列中的最大元素值及其該元素的位置賦予行向量Y與I；當X為向量時，則Y與I為單變量。
[Y,I]=max(X,[],DIM)：當DIM=1時按數組X的各列查取其最大的元素值及其該元素的位置賦予向量Y與I;當DIM=2時按數組X的各行查取其最大的元素值及其該元素的位置賦予向量Y與I.
max(A,B)：返回一個與A,B同維的數組，其每一個元素是由A,B同位置上的元素的最大值組成。
【例1】查找下面數列x的最大值。
x=[3 5 9 6 1 8] % 產生數列x
x = 3 5 9 6 1 8
y=max(x) % 查出數列x中的最大值賦予y
y = 9
[y,l]=max(x) % 查出數列x中的最大值及其該元素的位置賦予y,l
y = 9
l = 3
【例2】分別查找下面3×4的二維數組x中各列和各行元素中的最大值。
x=[1 8 4 2;9 6 2 5;3 6 7 1] % 產生二維數組x
x = 1 8 4 2
9 6 2 5
3 6 7 1
y=max(x) % 查出二維數組x中各列元素的最大值產生賦予行向量y
y = 9 8 7 5
[y,l]=max(x) % 查出二維數組x中各列元素的最大值及其這些
% 元素的行下標賦予y,l
y = 9 8 7 5
l = 2 1 3 2
[y,l]=max(x,[ ],1) % 本命令的執行結果與上面命令完全相同
y = 9 8 7 5
l = 2 1 3 2
[y,l]=max(x,[ ],2) % 由於本命令中DIM=2,故查找操作在各行中進行
y = 8
9
7
l = 2
1
3
[y,l]=max(x) % 查出二維數組x中各列元素的最大值及其這些
% 元素的行下標賦予y,l
y = 9 8 7 5
l = 2 1 3 2
[y,l]=max(x,[ ],1) % 本命令的執行結果與上面命令完全相同
y = 9 8 7 5
l = 2 1 3 2
[y,l]=max(x,[ ],2) % 由於本命令中DIM=2,故查找操作在各行中進行
y = 8
9
7
l = 2
1
3
2、查取最小值
MIN函數用來查取數據序列的最小值。它的用法與命令格式與MAX函數完全一樣，所不同的是執行的結果是最小值。
3、求中值
所謂中值，是指在數據序列中其值的大小恰好在中間。例如，數據序列9,-2,5,7,12的中值為7 。
如果為偶數個時，則中值等於中間的兩項之平均值。
MEDIAN函數調用的命令格式有：
Y=median(X)：將median(X)返回矩陣X各列元素的中值賦予行向量Y。若X為向量，則Y為單變量。
Y=median(X,DIM)：按數組X的第DIM維方向的元素求其中值賦予向量Y。若DIM=1，為按列操作；若DIM=2，為按行操作。若X為二維數組，Y為一個向量；若X為一維數組，則Y為單變量。
【例4】試分別求下面數列x1與x2的中值。
x1=[9 -2 5 7 12]; % 奇數個元素
y1=median(x)
y1 =
7
x2=[9 -2 5 6 7 12]; % 偶數個元素
y2=median(x)
y2 =
6.5000
【例5】對下面二維數組x，試從不同維方向求出其中值。
x=[1 8 4 2;9 6 2 5;3 6 7 1] % 產生一個二維數組x
x = 1 8 4 2
9 6 2 5
3 6 7 1
y0=median(x) % 按列操作
y0 = 3 6 4 2
y1=median(x,1) % 此時DIM=1,故按列操作,結果y1為行向量
y1 = 3 6 4 2
y2=median(x,2) % 此時DIM=2,故按行操作, 結果y2為列向量
y2 = 3.0000
5.5000
4.5000
4、求和
命令格式有：
Y=sum(X)：將sum(X)返回矩陣X各列元素之和賦予行向量Y；若X為向量，則Y為單變量。
Y=sum(X,DIM)：按數組X的第DIM維的方向的元素求其和賦予Y。若DIM=1，為按列操作；若DIM=2，為按行操作。若X為二維數組，Y為一個向量；若X為一維數組，則Y為單變量。
例如：
x=[4 5 6;1 4 8]
x =
4 5 6
1 4 8
y=sum(x,1)
y =
5 9 14
y=sum(x,2)
y =
15
13
5、求平均值
MEAN函數調用的命令格式有：
Y= mean(X)：將mean (X)返回矩陣X各列元素之的平均值賦予行向量Y。若X為向量，則Y為單變量。
Y= mean(X,DIM)：按數組X的第DIM維的方向的元素求其平均值賦予向量Y。若DIM=1，為按列操作；若DIM=2，為按行操作。若X為二維數組，Y為一個向量；若X為一維數組，則Y為單變量。
6、求積
命令格式有：
Y= prod(X)：將prod(X)返回矩陣X各列元素之積賦予行向量Y。若X為向量，則Y為單變量。
Y= prod(X,DIM)：按數組X的第DIM維的方向的元素求其積賦予向量Y。若DIM=1，為按列操作；若DIM=2，為按行操作。若X為二維數組，Y為一個向量；若X為一維數組，則Y為單變量。
7、 求累計和、累積積、標准方差與升序排序
MATLAB提供的求累計和、累積積、標准方差與升序排序等函數分別為CUMSUM、CUMPROD、STD和SORT，這里僅STD函數為MATLAB程序，其余均為內部函數。
這些函數調用的參數與操作方式都與上小節的MEDIAN（中值）函數基本上一樣，因此不作詳細的介紹。
二、插值與曲線擬合
1.多項式的曲線擬合
對於實驗或統計數據，為了描述不同變量之間的關系，經常采用擬合曲線的辦法。擬合曲線，就是要根據已知數據找出相應函數的系數。通常情況下，已知數據往往多於未知系數的個數，所以曲線擬合實質上是解超線性方程組。
曲線擬合涉及回答兩個基本問題：最佳擬合意味着什么？應該用什么樣的曲線？可用許多不同的方法定義最佳擬合，並存在無窮數目的曲線。所以，從這里開始，我們走向何方？正如它證實的那樣，當最佳擬合被解釋為在數據點的最小誤差平方和，且所用的曲線限定為多項式時，那么曲線擬合是相當簡捷的。數學上，稱為多項式的最小二乘曲線擬合。如果這種描述使你混淆，再研究圖11.1。虛線和標志的數據點之間的垂直距離是在該點的誤差。對各數據點距離求平方，並把平方距離全加起來，就是誤差平方和。這條虛線是使誤差平方和盡可能小的曲線，即是最佳擬合。最小二乘這個術語僅僅是使誤差平方和最小的省略說法。
命令格式：
p=polyfit(x,y,n):在向量p中返回多項式的系數。其中x和y為已知數據的橫坐標和縱坐標向量，n為多項式的次數；
[p,s]=polyfit(x,y,n):同時還返回一個誤差估計數組s。
Matlab polyval
x=(0:0.1:2.5);%x軸是0.5，只不過每隔0.1顯示一個點（圖中的圈） y=erf(x);%誤差函數，非初等函數 p=polyfit(x,y,6); f=polyval(p,x); plot(x,y,'o',x,f,'-');
2. 一維插值
插值定義為對數據點之間函數的估值方法，這些數據點是由某些集合給定。當人們不能很快地求出所需中間點的函數值時，插值是一個有價值的工具。例如，當數據點是某些實驗測量的結果或是過長的計算過程時，就有這種情況。差值在信號和圖像處理方面有很重要的應用。
命令格式：
yi=interp1(x,Y,xi)
yi=interp1(x,Y,xi,method)
其中，xi為需要插值的位置所組成的向量，yi為根據插值算法求得的值所組成的向量。x和Y為已知的數據點向量。參量用於確定具體的插值方法，包括：
‘linear’：表示采用線性插值方法
‘cubic’：表示采用三次插值方法
‘nearest’：表示采用最近點插值方法
‘spline’：表示采用三次樣條插值方法
這四種方法都要求把已知數據按x作升序或降序排列
在選擇插值方法時，應該考慮速度、內存需要和光滑問題。在上述四種方法中，最近點插值法最快，但它的插值很粗糙。線性插值較最近點插值法
需要更多的內存和計算時間，但插值曲線連續，並且導數連續。樣條插值法雖然比三次插值法所需的內存少，但耗時多，不過插值曲線最光滑。需
要說明的是，由於樣條插值的特性，當已知數據分布不均勻時，插值結果不太理想。
【例12】下面兩個向量分別包括了1900到1990年間美國人口普查的年代和相應的人口數（單位為百萬）
t=[1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990] p=[75.9950 91.9720 105.7110 123.2030 131.6690 150.6970 179.3230 203.2120 226.5050 249.6330]
估計1975年的人口數
interpl(t,p,1975) 估計1900到2000年每一年的人口數
x=1900 :1: 2000;
y=interp1(t,p,x,'spline');
plot(t,p,'o',x,y)
三.離散傅立葉變換
例 給定數學函數
x(t)=12sin(2π×10t+π/4)+5cos(2π×40t)
取N=128，試對t從0~1秒采樣，用fft作快速傅立葉變換，繪制相應的振幅-頻率圖。
在0~1秒時間范圍內采樣128點，從而可以確定采樣周期和采樣頻率。由於離散傅立葉變換時的下標應是從0到N-1，故在實際應用時下標應該前移1。又考慮到對離散傅立葉變換來說，其振幅| F(k)|是關於N/2對稱的，故只須使k從0到N/2即可。
1 N=128; % 采樣點數 2 T=1; % 采樣時間終點 3 t=linspace(0,T,N); % 給出N個采樣時間ti(I=1:N) 4 x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t); % 求各采樣點樣本值x 5 dt=t(2)-t(1); % 采樣周期 6 f=1/dt; % 采樣頻率(Hz) 7 X=fft(x); % 計算x的快速傅立葉變換X，ifft是逆變換 8 F=X(1:N/2+1); % F(k)=X(k)(k=1:N/2+1) 9 f=f*(0:N/2)/N; % 使頻率軸f從零開始 10 plot(f,abs(F),'-*') % 繪制振幅-頻率圖 11 xlabel('Frequency'); 12 ylabel('|F(k)|')
四.多項式計算
1 多項式的四則運算
1．多項式的加減運算
2．多項式乘法運算
函數conv(P1,P2)用於求多項式P1和P2的乘積。這里，P1、P2是兩個多項式系數向量。
例 求多項式x4+8x3-10與多項式2x2-x+3的乘積。
3．多項式除法
函數[Q,r]=deconv(P1,P2)用於對多項式P1和P2作除法運算。其中Q返回多項式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。這里，Q和r仍是多項式系數向量。
deconv是conv的逆函數，即有P1=conv(P2,Q)+r。
2 多項式的導函數（和diff不同的是polyder中p為向量而diff中是符號表達式）
對多項式求導數的函數是：
p=polyder(P)：求多項式P的導函數
p=polyder(P,Q)：求P·Q的導函數
[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的導函數，導函數的分子存入p，分母存入q。
上述函數中，參數P,Q是多項式的向量表示，結果p,q也是多項式的向量表示。
3 多項式的求值
MATLAB提供了兩種求多項式值的函數：polyval與polyvalm，它們的輸入參數均為多項式系數向量P和自變量x。兩者的區別在於前者是代數多項式求值，而后者是矩陣多項式求值。
1．代數多項式求值
polyval函數用來求代數多項式的值，其調用格式為：
Y=polyval(P,x)
若x為一數值，則求多項式在該點的值；若x為向量或矩陣，則對向量或矩陣中的每個元素求其多項式的值。
例 已知多項式x4+8x3-10，分別取x=1.2和一個2×3矩陣為自變量計算該多項式的值。
2．矩陣多項式求值
rank(A)求秩，eig（A）求特征值。
polyvalm函數用來求矩陣多項式的值，其調用格式與polyval相同，但含義不同。polyvalm函數要求x為方陣，它以方陣為自變量求多項式的值。設A為方陣，P代表多項式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含義 是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))
而polyval(P,A)的含義是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))
4 多項式求根
n次多項式具有n個根，當然這些根可能是實根，也可能含有若干對共軛復根。MATLAB提供的roots函數用於求多項式的全部根，其調用格式為：
x=roots(P)
其中P為多項式的系數向量，求得的根賦給向量x，即x(1),x(2),…,x(n)分別代表多項式的n個根。
例6-21 求多項式x4+8x3-10的根。
命令如下：
A=[1,8,0,0,-10];
x=roots(A)
若已知多項式的全部根，則可以用poly函數建立起該多項式，其調用格式為：
P=poly(x)
若x為具有n個元素的向量，則poly(x)建立以x為其根的多項式，且將該多項式的系數賦給向量P。
例 已知 f(x)
(1) 計算f(x)=0 的全部根。
(2) 由方程f(x)=0的根構造一個多項式g(x)，並與f(x)進行對比。
命令如下：
P=[3,0,4,-5,-7.2,5];
X=roots(P) %求方程f(x)=0的根
G=poly(X) %求多項式g(x)