最小二乘法多項式曲線擬合原理與實現（轉）

概念

最小二乘法多項式曲線擬合，根據給定的m個點,並不要求這條曲線精確地經過這些點，而是曲線y=f(x)的近似曲線y= φ(x)。

 

原理

[原理部分由個人根據互聯網上的資料進行總結，希望對大家能有用]

 

 

     給定數據點pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲線y= φ(x)。並且使得近似曲線與y=f(x)的偏差最小。近似曲線在點pi處的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。 

常見的曲線擬合方法:

     1.使偏差絕對值之和最小

     

 

     2.使偏差絕對值最大的最小

     

 

     3.使偏差平方和最小

 

     

 

     按偏差平方和最小的原則選取擬合曲線，並且采取二項式方程為擬合曲線的方法,稱為最小二乘法。

推導過程：

     1. 設擬合多項式為：

          

     2. 各點到這條曲線的距離之和，即偏差平方和如下：

          

     3. 為了求得符合條件的a值，對等式右邊求ai偏導數，因而我們得到了： 

          

          

                         .......

          

 

     4. 將等式左邊進行一下化簡，然后應該可以得到下面的等式：

          

          

                     .......

          

 

     5. 把這些等式表示成矩陣的形式，就可以得到下面的矩陣：

          

     6. 將這個范德蒙得矩陣化簡后可得到:

          

     7. 也就是說X*A=Y，那么A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系數矩陣A，同時，我們也就得到了擬合曲線。

實現

 

運行前提:

1. Python運行環境與編輯環境；
2. Matplotlib.pyplot圖形庫，可用於快速繪制2D圖表，與matlab中的plot命令類似，而且用法也基本相同。

代碼:

# coding=utf-8

'''''
作者:Jairus Chan
程序:多項式曲線擬合算法
'''
import matplotlib.pyplot as plt
import math
import numpy
import random

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)

#階數為9階
order=9

#生成曲線上的各個點
x = numpy.arange(-1,1,0.02)
y = [((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2) for a in x]
#ax.plot(x,y,color='r',linestyle='-',marker='')
#,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5"

#生成的曲線上的各個點偏移一下，並放入到xa,ya中去
i=0
xa=[]
ya=[]
for xx in x:
    yy=y[i]
    d=float(random.randint(60,140))/100
    #ax.plot([xx*d],[yy*d],color='m',linestyle='',marker='.')
    i+=1
    xa.append(xx*d)
    ya.append(yy*d)

'''''for i in range(0,5):
    xx=float(random.randint(-100,100))/100
    yy=float(random.randint(-60,60))/100
    xa.append(xx)
    ya.append(yy)'''

ax.plot(xa,ya,color='m',linestyle='',marker='.')


#進行曲線擬合
matA=[]
for i in range(0,order+1):
    matA1=[]
    for j in range(0,order+1):
        tx=0.0
        for k in range(0,len(xa)):
            dx=1.0
            for l in range(0,j+i):
                dx=dx*xa[k]
            tx+=dx
        matA1.append(tx)
    matA.append(matA1)

#print(len(xa))
#print(matA[0][0])
matA=numpy.array(matA)

matB=[]
for i in range(0,order+1):
    ty=0.0
    for k in range(0,len(xa)):
        dy=1.0
        for l in range(0,i):
            dy=dy*xa[k]
        ty+=ya[k]*dy
    matB.append(ty)

matB=numpy.array(matB)

matAA=numpy.linalg.solve(matA,matB)

#畫出擬合后的曲線
#print(matAA)
xxa= numpy.arange(-1,1.06,0.01)
yya=[]
for i in range(0,len(xxa)):
    yy=0.0
    for j in range(0,order+1):
        dy=1.0
        for k in range(0,j):
            dy*=xxa[i]
        dy*=matAA[j]
        yy+=dy
    yya.append(yy)
ax.plot(xxa,yya,color='g',linestyle='-',marker='')

ax.legend()
plt.show()

運行效果: 

 

 

 

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