java 算法基礎之一尋找最大公約數

最近發現在搞Android的都要懂一點數據結構和算法才能進階到高手，所以就回去復習了一下基礎，為一些公司招聘做題做准備。
今天研究了一下最大公約數的求法，在網上也找了不同的解法，現在就想總結一下，拿出來分享給大家，共同 學習
首先講一個什么是公約數，這個問題我們小學都學過，可能有一部分人已經忘記了，所以還是講一下，假設有兩個數a,b,所謂的公約數就是能把a,b整除的最大整數。

明白了要求我們就來解決問題，一拿到問題我們都應該都能想到一個方法，就是使用窮舉法，從2開始一個個找，到一個兩個都能除的就記錄起來，一直找到小於min(a,b)結束，
記錄到的值就是他們的最大公約數代碼由下：

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代碼片段，雙擊復制

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//找出最大公約數,窮舉法         public static int getMaxDivide_ab( int a, int b){                 int value= 1 ;                 int max;                 int min;                 if (a==b){                         return a;                 }                 if (a>b){                         max=a;                         min=b;                 } else {                         max=b;                         min=a;                 }                 for ( int i= 2 ;i<min;i++){                         if ( 0 ==max%i && 0 ==min%i){                                 value=i;                         }                 }                 return value;         }

第二種方法是使用歐幾里德算法，這個已經有2000+年的歷史了，這個比起上一個來的要高效，假設我們的最大公約數表示為f(a,b),並且有a>=b>0,
歐幾里德就給了我們一個很好的定理，f(a,b)=f(b,a%b),有了這個等式我們就很容易得出這個算法的遞歸式，現在我們來看下這個等式是怎么來的
設有 r=a/b ,q=a%b  
所以就有 a=a/b*b+q  ----(這里的a/b*b!=a   ，原因就是我們用的是整數來計算的)
也就是a=r*b+q     變換一下有：q=a-r*b      設d=f(a,b)，a/d=m,b/d=n;則  有q=dm-r*dn=d(m-rn)
所以q/d也為0；設d|q表示d是q的約數；以下相同；
又有d|b;所以有d|(b,q),設D是(b,q)的最大公約數，則會有d<=D=f(b,q);

再回到前面r=a/b,q=a%b這兩個條件有
a=r*b+q,由於D|(b,q),所以D|a,所以有D|(a,b)
所以有D<=d=f(a,b),結合上部分就有d<=D <+d,及D=d;
所以得證；
代碼實現由下：

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代碼片段，雙擊復制

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public static int oujilide( int a, int b){                 if (a<b){                         int temp;                         temp=a;                         a=b;                         b=temp;                 }                 if ( 0 ==b){                         return a;                 }                 return oujilide(b,a%b);         }

第三種方法是上一種的變形

我們在對大整數求最大公約數，第二種方法的效率就出現了瓶頸，實際上對於大整數而言，取模運算（用到除法）的開銷非常的昂貴，這就是歐幾里得算法的局限性，那么我們就得優化一下它了，借鑒歐幾里得的輾轉相除法，既然是取模運算導致的問題，那么我們就不用取模運算，換用“-”運算，即 f(x,y)=f(x-y,y);深入考慮一下發現在算法運行的過程可能會出現x<y的情況，這時候要交換x和y，但是結果不受影響。 
這個方法的證明可以看上面一種給出的證明，細想一下都是一樣的
實現代碼也很簡單：

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代碼片段，雙擊復制

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public static int xymod( int a, int b){                 if (a<b){                         int temp;                         temp=a;                         a=b;                         b=temp;                 }                 if ( 0 ==b){                         return a;                 }                 return xymod(a-b,b);         }

在算法的效率上第二種和第三種都有個自的局限性，一個在大整數上，一個在迭代上， 我們還可以找到一個綜合上面兩種的算法就是，一步步的簡化a,b這兩個數，簡化的方法由下：

(1)如果y=k*y1,x=k*x1.那么有f(x,y)=k*f(x1,y1)

(2)如果x=p*x2,p為素數，並且y%p != 0，那么f(x,y) = f(p*x2,y) = f(x2,y)

於是我們得到下面的解決方法：

將p = 2,

若x，y均為偶數，f(x,y) = 2*f(x/2,y/2) = 2*f(x>>1,y>>1);

若x是偶數，y是奇數，f(x,y) = f(x/2,y) = f(x>>1,y);

若x是奇數，y是歐式，f(x,y) = f(x,y/2) = f(x,y>>1);

若x和y均為奇數，f(x,y) = f(y,x-y)。這時x-y一定是偶數，下一步一定會除以2。

上面的方法來源都可以用到上面的證明過程，
代碼實現由下：

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代碼片段，雙擊復制

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public static int moveCombe( int a, int b){                 if (a<b){                         return moveCombe(b, a);                 }                 if ( 0 ==b){                         return a;                 }                 if (isTwo(a)){                         if (isTwo(b)){                                 return moveCombe(a/ 2 , b/ 2 )* 2 ;                         }                         return moveCombe(a/ 2 , b);                 } else {                         if (isTwo(b)){                                 return moveCombe(a, b/ 2 );                         }                         return moveCombe(b, a-b);                 }                                                             }         private static boolean isTwo( int a) {                 if ( 0 ==a% 2 ){                         return true ;                 } else {                         return false ;                 }         }

上面的代碼都比較簡單，我就沒有做注解了，這些思想大部分都來自了網絡，代碼自己重寫過，有不對之處還請大家指出，共同學習。

全部代碼：