經典算法題每日演練——第一題 百錢買百雞

   

        百錢買百雞的問題算是一套非常經典的不定方程的問題，題目很簡單：公雞5文錢一只，母雞3文錢一只，小雞3只一文錢，

用100文錢買一百只雞,其中公雞，母雞，小雞都必須要有，問公雞，母雞，小雞要買多少只剛好湊足100文錢。

 

分析：估計現在小學生都能手工推算這套題，只不過我們用計算機來推算，我們可以設公雞為x，母雞為y，小雞為z，那么我們

         可以得出如下的不定方程，

         x+y+z=100,

         5x+3y+z/3=100，

        下面再看看x，y，z的取值范圍。

        由於只有100文錢，則5x<100 => 0<x<20, 同理  0<y<33,那么z=100-x-y，

        好，我們已經分析清楚了，下面就可以編碼了。

    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            //公雞的上線
            for (int x = 1; x < 20; x++)
            {
                //母雞的上線
                for (int y = 1; y < 33; y++)
                {
                    //剩余小雞
                    var z = 100 - x - y;

                    if ((z % 3 == 0) && (x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100))
                    {
                        Console.WriteLine("公雞:{0}只，母雞:{1}只,小雞:{2}只", x, y, z);
                    }
                }
            }
            Console.Read();
        }
    }

結果出來了，確實這道題非常簡單，我們要知道目前的時間復雜度是O(N²),實際應用中這個復雜度是不能讓你接受的，最多最多能讓

人接受的是O(N)。

所以說我們必須要優化一下，從結果中我們可以發現這樣的一個規律：公雞是4的倍數,母雞是7的遞減率，小雞是3的遞增率，規律哪里

來，肯定需要我們推算一下這個不定方程。

    x+y+z=100          ①

    5x+3y+z/3=100    ②

 令②x3-① 可得

    7x+4y=100

=>y=25-(7/4)x          ③

又因為0<y<100的自然數，則可令

     x=4k                    ④

將④代入③可得

=> y=25-7k               ⑤

將④⑤代入①可知

=> z=75+3k               ⑥

 

要保證0<x，y，z<100的話，k的取值范圍只能是1,2,3，下面我們繼續上代碼。

    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            int x, y, z;

            for (int k = 1; k <= 3; k++)
            {
                x = 4 * k;
                y = 25 - 7 * k;
                z = 75 + 3 * k;

                Console.WriteLine("公雞:{0}只，母雞:{1}只,小雞:{2}只", x, y, z);
            }

            Console.Read();
        }
    }

 

這一次我們做到了O(N)的時間復雜度，很不錯，起碼優化到了我能接受的范圍內，或許我們感覺到了數學的魅力，是的，因為....

數學是科學的皇后。皇上自然就是物理了...