模線性方程（遞歸版+迭代版）& 擴展歐幾里德

　　線性方程：設a和b是兩個整數，g = gcd(a,b)是a和b的最大公約數。求滿足方程 a*x + b*y = g 的整數解x和y。

　　遞歸版：擴張歐幾里德

　　在用歐幾里德算法算a和b的最大公約數時，我們依次得到：

　　a = q(1) * b + r(1)

　　b = q(2) * r(1) + r(2)

　　r1 = q(3) * r(2) + r(3)

　　　　......

　　r(n-2) = q(n) * r(n-1) + r(n)

　　當r(n)為0時r(n-1)便是a和b的最大公約數g。我們在Euclid遞歸返回的過程中，構造解。

　　設第k-1層有：

　　　　r(k-3) = q(k-1) * r(k-2) + r(k-1)

　　第k層有：

　　　　r(k-2) = q(k) * r(k-1) + r(k)

　　遞歸時，設第k層的解已經構造好了，即我們已經知道了：x(k)和y(k)，滿足：x(k) * r(k-2) + y(k) * r(k-1) = g.

　　則第k-1層為：x(k-1) * r(k-3) + y(k-1) * r(k-2) = g，即x(k-1)*( q(k-1)*r(k-2) + r(k-1) ) + y(k-1)*r(k-2) = g。整理得：x(k-1)*r(k-1) + (x(k-1)*q(k-1) + y(k-1))*r(k-2) = g。

　　得到系數的轉移方程：

　　　　x(k-1) = y(k)

　　　　y(k-1) = x(k) - y(k)*q(k-1)

　　擴展歐幾里德代碼：

//zzy2012.7.17
#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

int Extended_Euclid(int a,int b,int &x,int &y){
    int q,temp,g;
    if(b==0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    g = Extended_Euclid(b,a%b,x,y);
    q = a/b;
    temp = x;
    x = y;
    y = temp - q*y;
    return g;

}

int main()
{
    int a,b,x,y,g;
    cin>>a>>b;
    g = Extended_Euclid(a,b,x,y);
    cout<<a<<'*'<<x<<'+'<<b<<'*'<<y<<'='<<g<<endl;
    return 0;
}

 

　　迭代版：

　　考察第k-1層：

　　　　r(k-3) = q(k-1) * r(k-2) + r(k-1)

　　得r(k-1) = r(k-3) - q(k-1) * r(k-2)，得系數遞推關系：

　　　　x(k) = x(k-2) - q(k) * x(k-1)

　　　　y(k) = y(k-2) - q(k) * y(k-1)

　　迭代版代碼：

//zzy2012.2.21
//求解形如a*x+b*y=gcd(a,b)的線性方程
#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

typedef struct
{
    int x,y;
}node;

node r[3];

int solve(int a,int b)
{
    int f,q,t;//f指向r元素的下標，q每次迭代算出的商，t保存余數，r[]數組保存每次計算出的系數
    f=2;
    r[0].x=1;
    r[0].y=0;
    r[1].x=0;
    r[1].y=1;
    while(b!=0)
    {
        q=a/b;
        t=a%b;
        a=b;
        b=t;
        r[f%3].x=r[(f-2)%3].x-q*r[(f-1)%3].x;
        r[f%3].y=r[(f-2)%3].y-q*r[(f-1)%3].y;
        f++;
    }
    return (f-2)%3;
}

int main()
{
    int a,b,f;
    cin>>a>>b;
    if(a!=0 || b!=0)
    {
        f=solve(a,b);
        printf("%d %d\n",r[f].x,r[f].y);
    }
    return 0;
}

 

 　　同余式a*x = c (mod m)可以轉換為求線性方程。

　　代碼：

/*-----ЭЌгрЪН-----2011.7.10-----Library-----zzy-----*/
#include<cstdio>
#include<cmath>

int arg[2];

void ini(int a,int b)
{
    arg[0]=0;
    arg[1]=1;
    arg[2]=1;
    arg[3]=-a/b;
}

int lineeq(int a,int b)
{
    int x,q;
    if(b==0)
        return a;
    q=-a/b;
    x=arg[0]-q*arg[1];
    arg[0]=arg[1];
    arg[1]=x;
    return lineeq(b,a%b);
}

int main()
{
    int a,c,m,x,g,i;
    scanf("%d %d %d",&a,&c,&m);
    if(m==0)
    {
        printf("illegal m.\n");
        return 0;
    }
    if(a==0)
    {
        if(c%m==0)
            printf("x can be any integer.\n");
        else
            printf("no solution.\n");
        return 0;
    }
    ini(a,-m);
    g=lineeq(-m,a%(-m));
    g=abs(g);
    if(c%g!=0)
    {
        printf("no solution.\n");
        return 0;
    }
    x=arg[0]*c/g;
    for(i=0; i<g; i++)
    {
        printf("%d + k * %d\n",x+i*m/g,m);
    }
    return 0;
}