轉自：http://topic.csdn.net/t/20050425/23/3966336.html
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計算給定日期星期幾好象是編程都會遇到的問題，最近論壇里也有人提到這個問題，並給出了一個公式：
W= (d+2*m+3*(m+1)/5+y+y/4-y/100+y/400) mod 7
(要求將1、2月當作上一年的13、14月來計算)
去看了看這個公式的原帖 http://blog.csdn.net/ycrao/archive/2000/11/24/3825.aspx
其講述的過程並不清楚，便想怎樣自己推導出一個公式來，花了幾個小時，總算是弄出來了，結果跟上面的公式一樣：)
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下面我們完全按自己的思路由簡單到復雜一步步進行推導……
推導之前，先作兩項規定：
①用 y, m, d, w 分別表示 年 月 日 星期(w=0-6 代表星期日-星期六
②我們從 公元0年1月1日星期日 開始
一、只考慮最開始的 7 天，即 d = 1---7 變換到 w = 0---6
很直觀的得到:
w = d-1
二、擴展到整個1月份
模7的概念大家都知道了，也沒什么好多說的。不過也可以從我們平常用的日歷中看出來，在周歷里邊每列都是一個按7增長的等差數列，如1、8、15、22的星期都是相同的。所以得到整個1月的公式如下：
w = (d-1) % 7 --------- 公式⑴
三、按年擴展
由於按月擴展比較麻煩，所以將年擴展放在前面說
① 我們不考慮閏年，假設每一年都是 365 天。由於365是7的52倍多1天，所以每一年的第一天和最后一天星期是相同的。
也就是說下一年的第一天與上一年的第一天星期滯后一天。這是個重要的結論，每過一年，公式⑴會有一天的誤差，由於我們是從0年開始的，所以只須要簡單的加上年就可以修正擴展年引起的誤差，得到公式如下：
w = (d-1 + y) % 7
② 將閏年考慮進去
每個閏年會多出一天，會使后面的年份產生一天的誤差。如我們要計算2005年1月1日星期幾，就要考慮前面的已經過的2004年中有多少個閏年，將這個誤差加上就可以正確的計算了。
根據閏年的定義(能被4整但不能被100整除或能被400整)，得到計算閏年的個數的算式：y/4 - y/100 + y/400。
由於我們要計算的是當前要計算的年之前的閏年數，所以要將年減1，得到了如下的公式：
w = [d-1+y + (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400] % 7 -----公式⑵
現在，我們得到了按年擴展的公式⑵，用這個公式可以計算任一年的1月份的星期
四、擴展到其它月
考慮這個問題頗費了一翻腦筋，后來還是按前面的方法大膽假才找到突破口。
①現在我們假設每個月都是28天，且不考慮閏年
有了這個假設，計算星期就太簡單了，因為28正好是7的整數倍，每個月的星期都是一樣的，公式⑵對任一個月都適用 ：)
②但假設終究是假設，首先1月就不是28天，這將會造成2月份的計算誤差。1月份比28天要多出3天，就是說公式⑵的基礎上，2月份的星期應該推后3天。
而對3月份來說，推后也是3天(2月正好28天，對3月的計算沒有影響)。
依此類推，每個月的計算要將前面幾個月的累計誤差加上。
要注意的是誤差只影響后面月的計算，因為12月已是最后一個月，所以不用考慮12月的誤差天數，同理，1月份的誤差天數是0，因為前面沒有月份影響它。
由此，想到建立一個誤差表來修正每個月的計算。
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月 誤差 累計 模7
1 3 0 0
2 0 3 3
3 3 3 3
4 2 6 6
5 3 8 1
6 2 11 4
7 3 13 6
8 3 16 2
9 2 19 5
10 3 21 0
11 2 24 3
12 - 26 5
(閏年時2月會有一天的誤差，但我們現在不考慮)
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我們將最后的誤差表用一個數組存放
在公式⑵的基礎上可以得到擴展到其它月的公式
e[] = {0,3,3,6,1,4,6,2,5,0,3,5}
w = [d-1+y + e[m-1] + (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400] % 7 --公式⑶
③上面的誤差表我們沒有考慮閏年，如果是閏年，2月會一天的誤差，會對后面的3-12月的計算產生影響，對此，我們暫時在編程時來修正這種情況，增加的限定條件是如果當年是閏年，且計算的月在2月以后，需要加上一天的誤差。大概代碼是這樣的：
w = (d-1 + y + e[m-1] + (y-1)/4 - (y-1)/100 + (y-1)/400);
if(m> 2 && (y%4==0 && y%100!=0 || y%400==0) && y!=0)
++w;
w %= 7;
現在，已經可以正確的計算任一天的星期了。
注意：0年不是閏年，雖然現在大都不用這個條件，但我們因從公元0年開始計算，所以這個條件是不能少的。
④ 改進
公式⑶中，計算閏年數的子項 (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400 沒有包含當年，如果將當年包含進去，則實現了如果當年是閏年，w 自動加1。
由此帶來的影響是如果當年是閏年，1,2月份的計算會多一天誤差，我們同樣在編程時修正。則代碼如下
w = (d-1 + y + e[m-1] + y/4 - y/100 + y/400); ---- 公式⑷
if(m <3 && (y%4==0 && y%100!=0 || y%400==0) && y!=0)
--w;
w %= 7;
與前一段代碼相比，我們簡化了 w 的計算部分。
實際上還可以進一步將常數 -1 合並到誤差表中，但我們暫時先不這樣做。
至此，我們得到了一個階段性的算法，可以計算任一天的星期了。
public class Week { public static void main(String[] args){ int y = 2005; int m = 4; int d = 25; int e[] = new int[]{0,3,3,6,1,4,6,2,5,0,3,5}; int w = (d-1+e[m-1]+y+(y> > 2)-y/100+y/400); if(m <3 && ((y&3)==0 && y%100!=0 || y%400==0) && y!=0){ --w; } w %= 7; System.out.println(w); } }
五、簡化
現在我們推導出了自己的計算星期的算法了，但還不能稱之為公式。
所謂公式，應該給定年月日后可以手工算出星期幾的，但我們現在的算法需要記住一個誤差表才能進行計算，所以只能稱為一種算法，還不是公式。
下面，我們試圖消掉這個誤差表……
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消除閏年判斷的條件表達式
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由於閏年在2月份產生的誤差，影響的是后面的月份計算。如果2月是排在一年的最后的話，它就不能對其它月份的計算產生影響了。可能已經有人聯想到了文章開頭的公式中為什么1,2月轉換為上年的13,14月計算了吧 ：)
就是這個思想了，我們也將1,2月當作上一年的13,14月來看待。
由此會產生兩個問題需要解決：
1> 一年的第一天是3月1日了，我們要對 w 的計算公式重新推導
2> 誤差表也發生了變化，需要得新計算
①推導 w 計算式
1> 用前面的算法算出 0年3月1日是星期3
前7天, d = 1---7 ===> w = 3----2
得到 w = (d+2) % 7
此式同樣適用於整個三月份
2> 擴展到每一年的三月份
[d + 2 + y + (y-1)/4 - (y-1)/100 + (y-1)/400] % 7
②誤差表
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月 誤差 累計 模7
3 3 0 0
4 2 3 3
5 3 5 5
6 2 8 1
7 3 10 3
8 3 13 6
9 2 16 2
10 3 18 4
11 2 21 0
12 3 23 2
13 3 26 5
14 - 29 1
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③得到擴展到其它月的公式
e[] = {0,3,5,1,3,6,2,4,0,2,5,1}
w = [d+2 + e[m-3] +y+(y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400] % 7
(3 <= m <= 14)
我們還是將 y-1 的式子進行簡化
w = [d+2 + e[m-3] +y+y/4-y/100+y/400] % 7
(3 <= m <= 14)
這個式子如果當年是閏年，會告成多1的誤差
但我們將1,2月變換到上一年的13,14月，年份要減1，所以這個誤差會自動消除，所以得到下面的算法：
int e[] = new int[]{0,3,5,1,3,6,2,4,0,2,5,1};
if(m < 3) {
m += 12;
--y;
}
int w = (d+2 + e[m-3] +y+(y/4)-y/100+y/400) % 7; -----公式⑸
我們可以看到公式⑸與公式⑷幾乎是一樣的，僅僅是誤差天和一個常數的差別
常數的區別是由起始日期的星期不同引起的，0年1月1日星期日，0年3日1日星期三，有三天的差別，所以常數也從 -1 變成了 2。
現在，我們成功的消除了繁瑣的閏年條件判斷。
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消除誤差表
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假如存在一種m到e的函數映射關系，使得
e[m-3] = f(m)
則我們就可以用 f(m) 取代公式⑸中的子項 e[m-3]，也就消除了誤差表。
由於誤差表只有12個項，且每一項都可以加減 7n 進行調整，這個函數關系是可以拼湊出來的。但是這個過程可能是極其枯燥無味的，我現在不想自己去推導它，我要利用前人的成果。所謂前人栽樹，后人乘涼嘛 ：)
文章開頭開出的公式中的 2*m+3*(m+1)/5 這個子項引起了我的興趣
經過多次試試驗，我運行下面的代碼
for(m=1; m <=14; ++m)
System.out.print((-1+2*m+3*(m+1)/5)%7 + " ");
System.out.println();
天哪，輸出結果與我的誤差表不謀而合，成功了，哈哈
2 4 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2 5 1
Press any key to continue...
上面就是輸出結果，看它后面的12項，與我的誤差表完全吻合!!!
現在就簡單的，將 f(m) = -1 + 2*m + 3*(m+1)/5 代入公式⑸，得到
w = (d+1+2*m+3*(m+1)/5+y+(y/4)-y/100+y/400) % 7 ----公式6
約束條件: m=1,m=2 時 m=m+12,y=y-1;
現在，我們得到了通用的計算星期的公式，並且“完全”是按自己的思想推導出來的(那個函數映射關系不算)，只要理解了這個推導的步驟，即使有一天忘記了這個公式，也可以重新推導出來!
可能有人會注意到公式⑹與文章開頭的公式相差一個常數 1，這是因為原公式使用數字0--6表示星期一到星期日，而我用0--6表示星期日到星期六。實際上是一樣，你可以改成任意你喜歡的表示方法，只需改變這個常數就可以了。
六、驗證公式的正確性。
一個月中的日期是連續的，只要有一天對的，模7的關系就不會錯，所以一個月中只須驗證一天就可以了，一天需要驗12天。由於擴展到年和月只跟是否閏年有關系，就是說至少要驗證一個平年和一個閏年，也就是最少得驗證24次。
我選擇了 2005 年和 2008 年，驗證每個月的1號。
測試代碼如下：
class test { public int GetWeek(int y, int m, int d) { if(m <3) { m += 12; --y; } int w = (d+1+2*m+3*(m+1)/5+y+(y> > 2)-y/100+y/400) % 7; return w; } } public class Week { public static void main(String[] args){ int y = 2005; int m = 1; int d = 1; test t = new test(); String week[] = new String[]{ "星期日 ", "星期一 ", "星期二 ", "星期三 ", "星期四 ", "星期五 ", "星期六 " }; for(y=2005; y <=2008; y+=3) { for(m=1; m <=12; ++m) { String str = y + "- " + m + "- " + d + "\t " + week[t.GetWeek(y,m,d)]; System.out.println(str); } } } }
查萬年歷，檢查程序的輸出，完全正確。
七、后話
我們這個公式的推導是以0年3月1日為基礎的，對該日以后的日期都是可以計算的。但是否可以擴展到公元前(1,2已屬於公元前1年的13,14月了)呢？
雖然我對0年1月和2月、以及公元前1年(令y=-1)的12月作了驗證是正確的，但我在推導這個公式時並未想到將其擴展到公元前，所以上面的推導過程沒有足夠理論依據可以證明其適用於公元前。(負數的取模在不同的編譯器如C++中好象處理並不完全正確)。
另外一有點是對於0年是否存在的爭議，一種折中的說法是0年存在，但什么也沒有發生，其持續時間為0。還有在羅馬的格利戈里歷法中有10天是不存的(1582年10月5日至14持續時間為0)，英國的歷法中有11天(1752年9月3日至13日)是不存在的。感興趣的朋友可以看看這里：
http://www.whtv.com.cn/zhuanti/celebration/when/wz16.htm
但是我們做的是數字計算，不管那一天是否存在，持續的時間是24小時還是23小時甚至是0小時，只要那個號碼存在，就有一個星期與之對應。所以這個公式仍然是適用的。
如果要計算的是時間段，就必須考慮這個問題了。