這一節介紹一下由Rabin和Karp提出的RK算法。
1，RK算法的基本思想
HASH！
如果兩個字符串hash后的值不相同，則它們肯定不相同；如果它們hash后的值相同，它們不一定相同。
RK算法的基本思想就是：將模式串P的hash值跟主串S中的每一個長度為|P|的子串的hash值比較。如果不同，則它們肯定不相等；如果相同，則再諸位比較之。
2，RK算法的求解過程
將我們用來比較的字符串的全集設為∑={a,b,…,z}，設∑的長度為d=|∑|，則主串和模式串都可以看作是d進制數。例如只由數字組成的字符串，它的全集∑={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，d=10。
設模式串為P，其長度為m，主串為S，其長度為n。則模式串P可以看作是一個m位的d進制數A，主串S可以看作是一個n位的d進制數。我們的模式匹配過程就是將A與主串中的每個長度為m的d進制數S[t…t+m-1] （t=0,1,2,…,n-m+1）的值做比較，所以整個模式匹配過程就變成了兩個d進制數之間的比較過程。例如模式串為123，主串為65127451234，就是將十進制數123跟十進制數651, 512, 127, 274, 745, 451, 512, 123的逐個比較過程。
明確了匹配過程，下面就是求解A和求解S[t…t+m-1] （t=0,1,2,…,n-m+1）的過程：
1）求解A。根據多項式計算方法，A = P[m-1] + d * (P[m-2] + d * (P[m-3] + …+ d * (P[1] + d*P[0])…))
2）求解S[t…t+m-1]。為了方便表示，我們設S[t…t+m-1] = St，則S[t+1…t+m] = St+1
假設已求得St，現在要求St+1，需要注意的是St+1是St去掉高位數據，其余的m-1位乘以d后再在最低位加一位得到。於是
St+1 = d * (St – dm-1*S[t]) + S[t+m]
公式比較晦澀，舉個例子看看吧。比如上面例子中主串是65127451234。S2=127，那么S3=10×（127-102×1）+ 4 = 274
現在的問題是，如果A的值太大，比較的過程會比較耗時，這個時候我們可以將這個大數mod q(q是一個大素數)，同理，st也mod q,將兩個取模之后的數相比較。
3，RK算法的實現
1 #define q 144451
2 #define d 26
3
4 int isMatch(char *S, int i, char *P, int m) 5 { 6 int is, ip; 7 for(is=i, ip=0; is != m && ip != m; is++, ip++) 8 if(S[is] != P[ip]) 9 return 0; 10 return 1; 11 } 12
13 /*
14 * 字符串匹配的RK算法 15 * Author：Rabin & Karp 16 * 實現：CobbLiu 17 * 若成功匹配返回主串中的偏移，否則返回-1 18 */
19 int RK(char *S, char *P) 20 { 21 int m = strlen(P); 22 int n = strlen(S); 23 unsigned int h = 1
24 unsigned int A = 0; 25 unsigned int St = 0; 26 int i; 27
28 //初始化，算出最d進制下的最高位
29 for(i = 0;i < m - 1;i++) 30 h = (h*d) % q; 31
32 for(i = 0; i != m; i++){ 33 A = (d*A + (P[i] - 'a')) % q; 34 St = (d*St + (S[i] - 'a')) % q; 35 } 36
37 for(i = 0; i != n-m; i++){ 38 if(A == St) 39 if(isMatch(S,i,P,m)) 40 return i; 41 St = (d*(St - h*(S[i]-'a'))+(S[i+m]-'a')) % q; 42 } 43
44 return -1; 45 }
4，算法的復雜度分析
如果選擇的素數q>=m, 則RK算法的期望運行時間為O（n+m）, 如果m<<n，則算法的期望運行時間為O(n)。具體推理過程請參看《算法導論》第32章P562頁。